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Demostración de Euclides
Euclides formuló la primera demostración en la proposición 20 del libro IX de su obra Elementos.1 Una adaptación común de esta demostración original sigue así:
Se toma un conjunto arbitrario pero finito de números primos p1, p2, ···, pn, y se considera el producto de todos ellos más uno, q=p1p2 ··· pn+1. Este número es obviamente mayor que 1 y distinto de todos losprimos pi de la lista. El número q puede ser primo o compuesto. Si es primo tendremos un número primo que no está en el conjunto original. Si, por el contrario, es compuesto, entonces existirá algún factor p que divida a q. Suponiendo que p es alguno de los pi, se deduce entonces que p divide a la diferencia q-p1p2 ··· pn=1, pero ningún número primo divide a 1, es decir, se ha llegado a un absurdopor suponer que p está en el conjunto original. La consecuencia es que el conjunto que se escogió no es exhaustivo, ya que existen números primos que no pertenecen a él, y esto es independiente del conjunto finito que se tome. Teorema de Euclides
Los teoremas de Euclides son los que generalmente se aprenden en la escuela moderna. 
Primer teorema:
El cuadrado de la longitud de un cateto es igualal producto de la longitud de la hipotenusa por la longitud de la proyección del cateto sobre sí misma.



Segundo teorema:
El cuadrado de la altura de un triángulo rectángulo es igual al producto de la longitud de las proyecciones de los catetos sobre la hipotenusa de dicho triángulo.




Existen numerosas demostraciones parecidas a ésta, que se formulan a continuación:
Los dos teoremasde Tales[editar]


Semicírculo que ilustra el segundo teorema de Tales.
El primero de ellos explica esencialmente una forma de construir un triángulo semejante a uno previamente existente ("los triángulos semejantes son los que tienen iguales ángulos y sus lados homólogos proporcionales"). Mientras que el segundo desentraña una propiedad esencial de los circuncentros de todos los triángulosrectángulos ("encontrándose éstos en el punto medio de su hipotenusa"), que a su vez en la construcción geométrica es ampliamente utilizado para imponer condiciones de construcción de ángulos rectos. Si tres o más rectas paralelas son intersecadas cada una por dos transversales, los segmentos de las transversales determinados por las paralelas, son proporcionales.
Primer teorema[editar]


Unaaplicación del teorema de Tales.
Como definición previa al enunciado del teorema, es necesario establecer que dos triángulos son semejantes si tienen los ángulos correspondientes iguales y sus lados son proporcionales entre sí. El primer teorema de Tales recoge uno de los resultados más básicos de la geometría, al saber, que:
Teorema primero
Si en un triángulo se traza una línea paralela acualquiera de sus lados, se obtiene un triángulo que es semejante al triángulo dado.

Tales de Mileto
Según parece, Tales descubrió el teorema mientras investigaba la condición de paralelismo entre dos rectas. De hecho, el primer teorema de Tales puede enunciarse como que la igualdad de los cocientes de los lados de dos triángulos no es condición suficiente de paralelismo. Sin embargo, la principalaplicación del teorema, y la razón de su fama, se deriva del establecimiento de la condición de semejanza de triángulos, a raíz de la cual se obtiene el siguiente corolario.
Teorema de Tales


Tales de Mileto.
Existen dos teoremas relacionados con la geometría clásica que reciben el nombre de teorema de Tales, ambos atribuidos al matemático griego Tales de Mileto en el siglo VI a. C.
Índice  [ocultar] 
1 Los dos teoremas de Tales
2 Primer teorema
2.1 Corolario
3 Segundo teorema
3.1 Demostración
3.2 Corolarios
4 Aplicación (Tales - teorema segundo)
5 Leyenda
6 Notas y referencias
7 Enlaces externos
Los dos teoremas de Tales[editar]


Semicírculo que ilustra el segundo teorema de Tales.
El primero de ellos explica esencialmente una forma de construir un triángulo...