Autovectores

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Sea A una matriz cuadrada de orden m. Diremos que un escalar λ perteneciente al espacio complejo C es un autovalor de A si existe un vector v Є Cm, v ≠ 0 tal que Av = λv, en cuyo caso se diceque v es un autovector de A asociado al autovalor λ.
Obviamente, si tenemos un autovector v de A asociado a un autovalor λ, cualquier múltiplo no nulo de v también es un autovector de A asociado almismo autovalor λ. Por otra parte, si tenemos dos autovectores v1 y v2 asociados a un mismo autovalor λ, cualquier combinación lineal no nula de dichos autovectores también es un autovector de Aasociado al mismo autovalor λ.

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Dada una matriz cuadrada A y un número λ 0 Є C, son equivalentes: λ 0 es un autovalor de A. El sistema homogéneo (A = λ 0I) x = 0 es un sistemacompatible indeterminado. dim [Nul (A = λ 0I)] ≥ 1. El rango (A = λ 0I) no es máximo. La matriz (A = λ 0I) no tiene inversa. det [A = λ 0I] = 0. Por tanto, los autovalores de A son las soluciones dela ecuación p(λ) = det [A = λI] = 0. Esta ecuación se denomina ecuación característica de la matriz A y p(λ) = det [A = λI] se denomina polinomio característico.

(-1)m λm + Cm-1 λm-1 + · · ·+ C0 esun polinomio de grado m, y, por tanto, tiene m raíces (contando cada una según su multiplicidad) que pueden ser reales o complejas no-reales (aun en el caso en que la matriz A sea real).

Ejemplo1: Dada la matriz:

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Formamos su polinomio característico para encontrar los valores propios. Son las soluciones de det(A¡¸I) = (2¡¸)(¡6¡¸)¡9 = 0. Es un polinomio de grado dos que tiene dossoluciones. Luego hay dos valores propios λ1= 3 y λ2 = ¡7. Para encontrar los vectores propios asociados a cada valor propio tenemos que buscar los vectores tales que (A ¡ ¸I)x = 0. Es decir, buscamos x 2N(A ¡ ¸I) para cada uno de los valores propios que hemos encontrado.

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 Ejemplo

2: Encuentra los autovalores y autovectores de:
A 3 4 1 7

det(A
1

I)

3 1 7

4

(

5) 2...