Axiomas de cuerpo y orden

IN1002C - Cálculo 1
Carrera: Ingeniería Civil Eléctrica

Ricardo Monge (UCSC)

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5 de marzo de 2013

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Los inventores del Cálculo

Newton (1642-1727)

Leibniz (1646-1716)

Figura : Los inventores del Cálculo, Newton y Leibniz

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Introducción
¿Qué estudia el Cálculo?
Estudia funciones reales devariable real.
Comenzaremos por estudiar los números reales que son la base
de todo.

¿Qué son los números reales?
Es un conjunto, con elementos y dos operaciones (R, +, ·)
Estas operaciones satisfacen ciertas reglas básicas llamadas
AXIOMAS.

Axioma
Es una regla o propiedad que admitimos como cierta sin
demostración.
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3 / 39Ejemplo de motivación

2=1
¿Dónde está el error en el siguiente razonamiento?
Sean x, y ∈ R, tales que x = y. Luego,
x =y

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=⇒
=⇒
=⇒
=⇒
=⇒
=⇒
=⇒

x 2 = xy
x 2 − y 2 = xy − y 2
(x + y)(x − y) = y(x − y)
x +y =y
x +x =x
2x = x
2=1

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Axiomas de los números reales

Axiomas de Cuerpo
Son los asociados a la igualdad(x = y)

Axiomas de Orden
Son los asociados a la desigualdad (x < y)

Axiomas de Completitud
Son los que marcan la diferencia entre los reales y los racionales. Son
más profundos (existencia de las raíces cuadradas).

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Axiomas de Cuerpo de los Reales
Axioma 1: Conmutatividad
a) Cualesquiera que sean los reales x, ydados, su suma es un real
independiente del orden en que se usen los dos sumandos, es
decir:
(∀x, y ∈ R) x + y = y + x
b) Para el producto se cumple lo mismo, es decir
(∀x, y ∈ R) x · y = y · x

Axioma 2: Asociatividad
a) (∀x, y, z ∈ R) x + (y + z) = (x + y) + z
b) (∀x, y, z ∈ R) x · (y · z) = (x · y) · z
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Axiomas de Cuerpode los Reales
Atención:
El axioma anterior NO DICE que x + (y + z) = (x + z) + y
Pero esta igualdad es cierta como consecuencia de los dos axiomas
anteriores.
En efecto, veamos el siguiente desarrollo:
x + (y + z) = x + (z + y),

Gracias al axioma 1

= (x + z) + y,

Gracias al axioma 2.

Esta igualdad es una PROPIEDAD en R.

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Axiomas de Cuerpo

Ejercicio
Demostrar las siguientes propiedades, usando sólo los axiomas 1 y 2.
1

(a + b) + c = (a + c) + b = (b + a) + c = (b + c) + a =
(c + a) + b = (c + b) + a

2

(x + y) + (z + w ) = (x + w ) + (z + y) = (w + y) + (x + z)

Axioma 3: Distributividad
a) (∀x, y, z ∈ R) x · (y + z) = x · y + x · z
b**) (∀x, y, z ∈ R) (x + y) · z = x · z + y · zRicardo Monge (UCSC)

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Axiomas de Cuerpo

Axioma 4: Existencia de elementos neutros
a) En R existen ciertos números e tales que
(∀x ∈ R) x + e = x.
Todos los elementos e se llaman neutros para la suma.
b) En R existen ciertos números h = 0, tales que,
(∀x ∈ R) x · h = x.
Todos los elementos h que cumplen esta propiedad son neutros
para el producto.Ricardo Monge (UCSC)

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Axiomas de Cuerpo

Teorema
a) El elemento neutro para la suma es único.
b) El elemento neutro para el producto es único.

Observaciones
1

Una vez demostrado el teorema anterior, podremos ponerle
nombres especiales al único neutro aditivo, al que llamaremos
“cero” (0) y al único neutro multiplicativo al quellamaremos “uno”
(1).

2

El Axioma 4 b) dice además que 1 = 0.

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Axiomas de Cuerpo

Axioma 5: Existencia de elementos inversos
a) Para cada x ∈ R, existen reales asociados a x, que se llaman
opuestos o inversos aditivos de x, que satisfacen:
x + opuesto(x) = 0
b) Análogamente, para cada x ∈ R con x = 0, existen inversos...