Axiomatica De Algebra De Boole
Páginas: 5 (1126 palabras)
Publicado: 9 de octubre de 2012
-lll-
AXIOMATICA DE ALGEBRA DE BOOLE
por
ANTONIO GONZALlI.Z CARLOMAN
Un conjunto E, en el que definimos una operación unitaria (.) y dos
operaciones binarias ( +) y ('), es un álgebra de Boole si se cumple:
Existen dos elementos O y 1 de E, tales que siendo x, y, z, elementos
cualesquiera de- E, se verifican los siguientes axiomas:
Al'
A,.
As.
A..
As.
A..
A 7•
As.
A..
A lo •An .
An .
Al 1•
(A)
AH'
An .
Aa.
x
(x
x
.e
x
x
+
=
y
y
+
a:
=
x
+ y) + z
+ x = x.
+
+ (y + z).
O = e.
+ 1 = 1.
+ x· = 1.
+ (x . y) =
+ (y . z) =
x
x.
x
(x
y; • (x
a: Y = Y . X.
(x· y) . z = x . (y . z).
X·
x
X·
X·
x·
+ z).
1 = x.
O = O.
X·
+
ro· (x
X· (y
x.
=
= O.
+ y)
+
= e.
z)= (x . y)
+
(..c • z).
Esta axiomática es muy larga; pero pueden elegirse otras axiomáticas con menos axiomas y equivalentes a ella. Las axiomáticas equivalente-s a (A) más conocidas son las siguientes:
AXIOMÁTICA DE SIKORSKI
Al'
A..
As.
+ y = y + x.
+ y) + z = x + (y + z).
X· (y + z) = (ro • l/) + (ro • z],
x
(x
-20A..
AG'
AG'
A 7•
Aa.
A..
Aw
+ (x
x
Ixy) = X.
x·) + y = y.
X, Y = Y • X.
(x· y) . z = x . (y • z).
X + Iy • z) = (x + y) . (x
X· (x + y) = x.
(x + x·) . y = y.
o
o
+ z).
AXIOMÁTICA DE HUNTINGTON-WALUSINSKI
Al'
A.o
A aA..
A 5'
A..
,\"
'\..
X
x
+ y = y + x.
+ (y o z) = (x +
!J) o Ix
x + O = a:
a: + »: = 1.
x Y = Y . x.
x· (y + z) = (.1: • y)
X· 1 = a:
t:» x· = O.
+ 1).
>
+ (:¡;. z},
t- (x
. z},
z).
AXIOMÁTICA DE NEWMAN
Al'
A..
As.
A •.
A 5•
A s-
.L·
A ,.
:1'
(x
X·
x
O
+ z) = (x . y)
y) . z = (x . z)
(y
+
+ (y
1 = x.
+O=
X.
=
ai.
+ o:
X·
e" = O.
+
x·
=
1.
Nosotros proponemos lo siguiente:
Un conjunto E, en el que definimos una operación unitaria ( .) y dos
operaciones binarias (+)y ('), es un álgebra de Boole, si, Riendo e, y dos
elemento'> cualesquiera de E, se detíne la operación (.) como:
x .y
= (J'.
+
y')'
y se cumple:
Existe un elemento 1 de E, tal que siendo x, y, z elementos cualesquiera de E, se verifican los sig-uientes axiomas:
Bl.
B..
B 3•
B..
(B)
x
x
x
x
+ y = y + x.
+ (y • x) = (x +
+ (x • y) = x.
+ x· = 1.
y) • (x
+z).
Equivalencia de (A) y (B).
Llamando O a T" Y siendo e, y, z elementos cualesquiera ele E, se
verifica:
1.
X·
y = y. x.
-
21-
En efecto:
1
=
X· Y
1.
2.
3.
2.
+ y")"
(X"
a
=
+
(y"
a
= Y .X
X")"
Por definición de (').
Por B 1 •
Por definición de (').
O.
X· X· =
En efecto:
1
=
X • X"
1.
2.
a
S
+ x"")"= 1" = O
Por definición de (').
Por B 4 •
Por convenio.
3.
3.
(X"
X=
»:",
En efecto:
1
X
=
X
a
+ (x· X") =
1 '(x t-
6
x"") = (x"
3
X
+ O=
+ x"")
=
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
4.
Por
Por
Por
Por
Por
Por
Por
Por
Por
Por
(x· y)"
X
. (a:
+ (x"
4
+ x"")
(X" . x"")
+ X")
. x"") = (x
7= (x" ·x)
+ x""
+ X""
1.
= x""
n;
2.
2.
B a•
B 4•
B 4•
B s, B 1 •
2, l.
2.
B 1 , 1, n;
= x"
+ y".
En efecto:
1
(x· y)" = (x"
1.
2.
Por definición de (. \.
Por 3.
+ y")""
a
= X"
+ y"
• (X
8
=
a
+ X"") =
0+
e':"
a
-225.
{ro+y)*=x*·y*.
En pfecto:
(ro
1.
2.
6.
1
+ y)*
=
+ y**)*
(x**
•
=1'* •
u'
Por 3.
Por definición de (').
+ z)
:r. (y
= (I: • y)
+ (x
. z).
En efecto:
1
2
8
+ z) = (a:* + (y + z)*)* = (x* T (Y* . z*) )* = (('n* .+ q"~
• (x* + z*))* = (x* + y*)" + (x* + z*)" = (x· y) + (a:' z)
x· (y
4
1.
2.
3.
1.
5.
7.
X·
Por
Por
Por
Por
Por
deürnción de (.).
5.
B a4.
defuur-íón de (.).
+ y)
(x
5...
AXIOMATICA DE ALGEBRA DE BOOLE
por
ANTONIO GONZALlI.Z CARLOMAN
Un conjunto E, en el que definimos una operación unitaria (.) y dos
operaciones binarias ( +) y ('), es un álgebra de Boole si se cumple:
Existen dos elementos O y 1 de E, tales que siendo x, y, z, elementos
cualesquiera de- E, se verifican los siguientes axiomas:
Al'
A,.
As.
A..
As.
A..
A 7•
As.
A..
A lo •An .
An .
Al 1•
(A)
AH'
An .
Aa.
x
(x
x
.e
x
x
+
=
y
y
+
a:
=
x
+ y) + z
+ x = x.
+
+ (y + z).
O = e.
+ 1 = 1.
+ x· = 1.
+ (x . y) =
+ (y . z) =
x
x.
x
(x
y; • (x
a: Y = Y . X.
(x· y) . z = x . (y . z).
X·
x
X·
X·
x·
+ z).
1 = x.
O = O.
X·
+
ro· (x
X· (y
x.
=
= O.
+ y)
+
= e.
z)= (x . y)
+
(..c • z).
Esta axiomática es muy larga; pero pueden elegirse otras axiomáticas con menos axiomas y equivalentes a ella. Las axiomáticas equivalente-s a (A) más conocidas son las siguientes:
AXIOMÁTICA DE SIKORSKI
Al'
A..
As.
+ y = y + x.
+ y) + z = x + (y + z).
X· (y + z) = (ro • l/) + (ro • z],
x
(x
-20A..
AG'
AG'
A 7•
Aa.
A..
Aw
+ (x
x
Ixy) = X.
x·) + y = y.
X, Y = Y • X.
(x· y) . z = x . (y • z).
X + Iy • z) = (x + y) . (x
X· (x + y) = x.
(x + x·) . y = y.
o
o
+ z).
AXIOMÁTICA DE HUNTINGTON-WALUSINSKI
Al'
A.o
A aA..
A 5'
A..
,\"
'\..
X
x
+ y = y + x.
+ (y o z) = (x +
!J) o Ix
x + O = a:
a: + »: = 1.
x Y = Y . x.
x· (y + z) = (.1: • y)
X· 1 = a:
t:» x· = O.
+ 1).
>
+ (:¡;. z},
t- (x
. z},
z).
AXIOMÁTICA DE NEWMAN
Al'
A..
As.
A •.
A 5•
A s-
.L·
A ,.
:1'
(x
X·
x
O
+ z) = (x . y)
y) . z = (x . z)
(y
+
+ (y
1 = x.
+O=
X.
=
ai.
+ o:
X·
e" = O.
+
x·
=
1.
Nosotros proponemos lo siguiente:
Un conjunto E, en el que definimos una operación unitaria ( .) y dos
operaciones binarias (+)y ('), es un álgebra de Boole, si, Riendo e, y dos
elemento'> cualesquiera de E, se detíne la operación (.) como:
x .y
= (J'.
+
y')'
y se cumple:
Existe un elemento 1 de E, tal que siendo x, y, z elementos cualesquiera de E, se verifican los sig-uientes axiomas:
Bl.
B..
B 3•
B..
(B)
x
x
x
x
+ y = y + x.
+ (y • x) = (x +
+ (x • y) = x.
+ x· = 1.
y) • (x
+z).
Equivalencia de (A) y (B).
Llamando O a T" Y siendo e, y, z elementos cualesquiera ele E, se
verifica:
1.
X·
y = y. x.
-
21-
En efecto:
1
=
X· Y
1.
2.
3.
2.
+ y")"
(X"
a
=
+
(y"
a
= Y .X
X")"
Por definición de (').
Por B 1 •
Por definición de (').
O.
X· X· =
En efecto:
1
=
X • X"
1.
2.
a
S
+ x"")"= 1" = O
Por definición de (').
Por B 4 •
Por convenio.
3.
3.
(X"
X=
»:",
En efecto:
1
X
=
X
a
+ (x· X") =
1 '(x t-
6
x"") = (x"
3
X
+ O=
+ x"")
=
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
4.
Por
Por
Por
Por
Por
Por
Por
Por
Por
Por
(x· y)"
X
. (a:
+ (x"
4
+ x"")
(X" . x"")
+ X")
. x"") = (x
7= (x" ·x)
+ x""
+ X""
1.
= x""
n;
2.
2.
B a•
B 4•
B 4•
B s, B 1 •
2, l.
2.
B 1 , 1, n;
= x"
+ y".
En efecto:
1
(x· y)" = (x"
1.
2.
Por definición de (. \.
Por 3.
+ y")""
a
= X"
+ y"
• (X
8
=
a
+ X"") =
0+
e':"
a
-225.
{ro+y)*=x*·y*.
En pfecto:
(ro
1.
2.
6.
1
+ y)*
=
+ y**)*
(x**
•
=1'* •
u'
Por 3.
Por definición de (').
+ z)
:r. (y
= (I: • y)
+ (x
. z).
En efecto:
1
2
8
+ z) = (a:* + (y + z)*)* = (x* T (Y* . z*) )* = (('n* .+ q"~
• (x* + z*))* = (x* + y*)" + (x* + z*)" = (x· y) + (a:' z)
x· (y
4
1.
2.
3.
1.
5.
7.
X·
Por
Por
Por
Por
Por
deürnción de (.).
5.
B a4.
defuur-íón de (.).
+ y)
(x
5...
Leer documento completo
Regístrate para leer el documento completo.