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ALEPH SUB – CERO
SERIE DE DIVULGACIÓ
ℵ0 2008 – II ℵ0
ECUACIO ES DIFERE CIALES E EL CO TEXTO DEL MATLAB
Carlos Enrique úñez Rincón1
Los matemáticos, en lugar de simplemente utilizar un método que
parece funcionar, quieren hallar una justificación para el método y una
serie de condiciones que garanticen que el método funciona.
Glenn Ledder

El presente artículo de corte divulgativo tienecomo propósito hacer una
contrastación entre la resolución usual de ecuaciones diferenciales ordinarias
(EDO), es decir la resolución empleando el Álgebra y el Cálculo, y la resolución
operando los comandos del Programa de Cálculo Técnico Científico MATLAB.
Está dirigido al lector interesado en el tema, pero sobre todo a los alumnos
que cursan la asignatura Matemática IV en las diversasCarreras de Ingeniería que
configuran la Oferta Académica de la UNET.
Ecuaciones separables g ( y )

dy
= f ( x)
dx

Resolver y´= 4 − y 2 . Es necesario expresar la ecuación en la notación de
dy
= 4 − y 2 , ahora se lleva a la forma de variable separada, esto
Leibniz, es decir
dx
dy
es
= dx
4 − y2

1

El autor del artículo es Licenciado en Matemática, egresado de la Universidad delos Andes –
ULA - Venezuela. Asimismo, es Magíster, y Doctor en Ciencias. Actualmente es Profesor en la
Categoría de Titular, adscrito al Departamento de Matemática y Física de la Universidad
Nacional Experimental del Táchira – Venezuela. cnunezr@gmail.com, cnunezr@cantv.net

Ecuaciones diferenciales en el contexto del MatLab
luego
dy
1
1
1 2+ y
= ∫ dx ⇒ − ln 2 − y + ln 2 + y = x + C ⇒ln
= x+C
2
∫4− y
4
4
4 2− y

entonces, la solución es
luego,

2+ y
= e 4 x + 4C = e 4 x e 4C
2− y

2+ y
2+ y
= ±e 4 x e4C , haciendo A = ±e4C , obtenemos
= Ae4 x
2− y
2− y

Ae 4 x − 1
por lo tanto, y = 2 4 x
.
Ae + 1

Consideremos, ahora, la condición inicial y ( 0 ) = 1 , obtenemos

1
1
1
− ln 2 − 1 + ln 2 + 1 = 0 + C ⇒ C = ln ( 3)
4
4
4
entonces, la soluciónparticular es y =

2 ( 3e 4 x − 1)
3e 4 x + 1

.

Ahora, obtenemos la solución general y particular utilizando los comandos
de MatLab, asimismo se representa gráficamente las soluciones (figura 1) y la de
solución particular (figura 2).
>> pretty(solve('int(1/(4-y^2),y)=int(1,x)'))
- 1/4 log(y - 2) + 1/4 log(y + 2)
>> C=simple(sym('solve(subs(x=0,y=1,x=-1/4*ln(2-y)+1/4*ln(2+y)-C),C)'))C = 1/4*log(3)
>> [X,Y]=meshgrid(-2:0.1:2);
2

Carlos úñez

>> Z=-X+(-log(abs(2-Y))+log(abs(2+Y)))./4;
>> contour(Z,20)
>> fplot('(6*exp(4*x)-2)/(3*exp(4*x)+1)',[-3,3])
Cuadro 1

Figura 1

Figura 2

Como es posible observar, es bastante simple hallar la solución general y
particular de la ecuación diferencial, así como la solución gráfica.

Ecuaciones homogéneas M ( x, y ) dx +( x, y ) dy = 0

Consideremos la ecuación diferencial

x 2 + y 2 dx = xdy − ydx . Expresándola

de la forma homogénea, esto es

(

)

x 2 + y 2 + y dx − xdy = 0

probamos que las dos funciones son homogéneas
M ( tx, ty ) = tM ( x, y ) y
3

( tx, ty ) = t ( x, y )

Ecuaciones diferenciales en el contexto del MatLab
es claro, que ambas tienen el mismo grado de homogeneidad.x2 + y 2 + y
y dividiendo numerador y
x

dy
Ahora, la expresamos de la forma
=
dx
denominador por x, obtenemos

2

dy
y
 y
= 1+   +
dx
x
x
tomando la sustitución v =

v+x

y
dy
dv
, es decir y = xv , donde
= v + x , tenemos
x
dx
dx
dv
dv
= 1 + v2 + v ⇒ x = 1 + v2
dx
dx

la ecuación la hemos convertido en una ecuación diferencial separable, es decirdv
1 + v2

=

dx
x

integramos para obtener la solución general

∫

dv
1 + v2

=∫

dx
ln x + C
⇒ ln v + 1 + v 2 = ln ( x ) + C ⇒ v + 1 + v 2 = e ( ) = eC x = Ax
x

)

(

finalmente, sustituimos v por

y
x

 y2 
y + x2 + y2
y
+ 1 +  2  = Ax ⇒
= Ax ⇒ y + x 2 + y 2 = Ax 2 .
x
x
x 
Ahora, obtenemos la solución general utilizando los comandos de MatLab:...