Ayudantia de sumatorias

AYUDANTÍA DE SUMATORIAS

Inducción con Sumatorias: Demuestre por inducción que:

 j( j  2)
j 1

n



n(n  1)(2n  7) 6

a)

Para n=1 debe cumplirse:

1* 3 
b)

1(1  1)(2 *1  7) 6

en efecto : 3 

2*9 6

Suponemos válido para n, es decir aceptamos que:

 j ( j  2)
j 1

n



n(n  1)(2n  7) 6

c)

Demostramos para n+1, es decir:

PD :

 j (j  2)
j 1 n

n 1



(n  1)(n  2)(2n  9) 6 n(n  1)(2n  7)  (n  1)(n  3) 6

Usando la hipótesis de inducción se tiene :


j 1 n 1 j 1

n 1

j ( j  2)   j ( j  2)  (n  1)(n  3) 
j 1

 j ( j  2)  
j 1 n 1

n(n  1)(2n  7)  6(n  1)(n  3) (n  1)[n(2n  7)  6(n  3)]  6 6 (n  1)(2n 2  13n  18) 6  (n  1)(n  2)(2n  9) 6 q.e.d

j ( j  2)

Demuestre usando el principio de inducción que para todo n  1

k2
k 1

n

k

 2 n1 n  1  2

Para n = 1, la suma es 2, mientras que el lado derecho es 211 1  1  2  2 ; Supongamos ahora que:

 k2
k 1

n

k

 2 n 1 n  1  2 (Hipótesis de Inducción).

A partir de ella queremos probar que:

 k2
k 1

n 1

k

 2 n  2 n   2 (Tesis deInducción).

Entonces:

 k 2 k   k 2 k  n  12 n 1
k 1 k 1

n 1

n

 k2
k 1

n 1

k

 2 n 1 n  1  2  n  12 n 1  2 n 1 n  1  n  1  2  2 n 1 2n  2  2 n  2 n   2

 k2
k 1

n 1

k

 k2
k 1

n 1

k

 k2
k 1

n 1

k

Por lo tanto, se cumple la hipótesis inductiva y por lo tanto se cumple la tesis que valida larecursividad. Pruebe por inducción


i 1

n

1 i

 2 n 1 1





i) n= 1

 2 11 1  2 2 1  2 2  2  1 1 pues 2 2 3
ii) Hipótesis inductiva

1



 




i 1

n

1 i

 2 n 1 1





iii) para sucesor de n


i 1

n 1

1 i


i 1

n

1 i



1 n 1

 2 n 1 1 





1 n 1

Por Hipótesis inductiva Veamosa través de equivalencias si el último término es  2 n  2  1




 

2 n 1 1 





1 n 1

 2 n  2 1



 2 n  1  n  1  1  2 n  2 n  1  n  1  2n  3  2 n 2  3n  2  4n 2  12n  9  4n 2  6n  4  6n  5  0







Que es cierto para n  1

Demuestre por inducción que para n  1

1 2 n  1   k k  n 1 k k 1
2n

k 1

i)n= 1

pd

k  2
k 2 2

2

1

1


k 1 2

 1k 1   12   13
k 1 2
k 1

 1

1 1  2 2

luego
2  1 1 k  k k 2 k 1

ii) Hipótesis inductiva

1 2 n  1 1 k   k k n k 1
2n

k 1

iii) para sucesor de n

 
Utilizando hipótesis inductiva

2n 1 1 1 1 1 1     2 k n  1 k  n  2 k 2 n  1  2 n  2  n  1 k n

2n2

1 1 1 1   2n  1 2n  2 n  1 k  n 1 k



2n


k 1 2n

2n

 1k 1 
k k

1 1 1    2n  1 2n  2 n  1 2n  1
2n  1 1  2n  2 k 1 k k 1


k 1

 1k 1   12n11   1
k
k 1



 12 n1   12n 21
2n  1 2n  2



2n2


k 1

Demostrar usando inducción que:

2
j 1

n

3j



8 3n (2 7

 1)  n N

a)

Paran=1 se tiene

2
j 1

1

3j

 23  8 

8 8 3 7  (2  1) 7 7

b) Suponemos válido para n=k , es decir aceptamos que:

2
j 1

k

3j



8 3k (2 7

 1)

c) Demostramos para n= k+1, es decir: PD:
k 1 j 1

2
j 1

k 1

3j



8 3( k 1) (2 7

 1)

 23 j
pero :



2
j 1

k

3j

 2 3( k 1) 

8 3k (2  1)  8  2 3k 7  8 3( k1) (2  1) 7

1 8  8  2 3k (  1)  7 7

Cálculo de Sumatorias: Resolver la siguiente sumatoria. 32 + 52 + ……………….+ 992 Expresando la siguiente sumatoria:

 2k  1
k 1

49

2

, obtenemos la expresión de la sumatoria.

Desarrollando……

 4k
49 k 1 49 k 1

2

 4k  1 / Desarrollo x 
49 49



2

 4k    4k    1 / Pr opiedad 
2 k 1 k 1 49...