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Matemática para CPN

Unidad II – T.P.Nº2

Guía de trabajos Teórico- Práctico Nº 2
Mas funciones como modelos económicos:
LA TEORÍA DE MALTHUS:
Economista, clérigo y demógrafo británico (1766-1834), nacido en Rookery. Su principal
estudio es el Ensayo sobre los principios de la población (1798), en el que afirmaba que la
población tiende a crecer en progresión geométrica, mientras que losalimentos sólo
aumentan en progresión aritmética, por lo que llegará un día en que la población será mayor
que los medios de subsistencia, de no emplear medios preventivos y represivos…
Ahora bien ¿Qué se entiende por progresión?
¿Cuándo es aritmética o cuándo es geométrica?
Para responder algunas definiciones previas:
1- Sucesión
Es toda función cuyo dominio es el conjunto de númerosnaturales y el recorrido un
subconjunto del conjunto de números reales.

S : N  R

N
1
2
3
4
5
.
.

R
a1
a2
a3
a4
a5
.
.

Cualquiera sea una sucesión S ,
la denotamos:

S=

a1, a2, a3, ....., an, an+1, ....

O bién S = {an} n

N

= (an)

n

N

De otra forma: Una sucesión de números reales es un conjunto ordenado de infinitos
números reales a1, a2, a3, a4,a5,..., an,...
Cada uno de los números reales se llama término de la sucesión.
Es costumbre emplear las letras S, u, v, w... para designarlas, en vez de f, g, h... que sirven
para las funciones.
Del mismo modo, la variable se nota usualmente n (por natural) en vez de x, habitual para
las variables reales.
Por convención, se escribe Sn [en vez de S(n) ], la imagen de n por la sucesión S
Ejemplo:El conjunto ordenado de números impares 3, 5, 7, 9, 11, 13,...
donde S1 = 3 , S2 = 5 , S3 = 7 , etc., es una sucesión de números reales
Esta sucesión en general, se escribe: S = {3, 5, 7,....., 2n+1,......} = {2n+1} n

N

Donde 2n+1 recibe el nombre de término general

1

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Actividad 1:
Completa colocando las imágenes correspondientes a losprimeros 6 términos de las
sucesiones y exprésalo como en el ejemplo dado:
a) A cada número natural n le corresponde su recíproco
S={

,

,

, ..…… ,

, ……} = {

}n

N

b) A cada número natural n le corresponde su doble
S={

,

,

, ..…… ,

, ……} = {

}n

N

Sucesión Finita:
Si el dominio de la función es un subconjunto finito de números naturales se obtiene unasucesión
finita.

Ejemplo:
1
2
3
4

S: A

a1
a2
a3
a4

R / A = {1, 2, 3, 4}

N

S = { a1, a2 , a3 , a4} Sucesión finita

Las progresiones constituyen el ejemplo más sencillo del concepto de sucesión.

Ejemplo: Por el alquiler de una casa se acuerda pagar $ 800 al mes durante el primer año, y
cada año se aumentará el alquiler en $ 200 mensuales. ¿Cuánto se pagarámensualmente al
cabo de 10 años?
Rta: Completamos la tabla con la sucesión de números:
1

2

3

4

5

…..

10

800

Una progresión aritmética es una sucesión de números en que a cada término después del primero se
obtiene sumando una constante d al término anterior (d es la diferencia en común).
Una progresión aritmética queda determinada por completo cuando se conocen el 1º y ladiferencia d.
Una progresión geométrica es otro caso particular de las sucesiones en la que el cociente o la razón
entre dos términos consecutivos es una constante
Una progresión geométrica queda determinada por completo cuando se conocen el 1º y la razón r.
Ejemplo: 2 , 6 , 18 , 54 , ….

2

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Actividad 2:
Si la sucesión aritmética tiene por términosa : a1 , a2 , a3 , …, an , …. , y la diferencia es d ,
completa aplicando la definición de progresión aritmética y deduce la fórmula para el n-ésimo
término:

a1 = a1
a2 =
a3 =
a4 =
…….
an =
Actividad 3:
Para cada sucesión , encuentra el término general:
a) 1, 3, 5, 7, 9, ......
b) 2, 7, 12, 17, 22, .....
c) 5, 13, 21, 29, ….

Actividad 4:
Si la sucesión geométrica tiene por...