Bachiller

4.2. Propiedades de las progresiones aritm´ticas.
e
(1) Si A = {a1 , a2 , a3 , . . . , } ⊂ R, es una Progresi´ Aritm´tica de diferencia d enon
e
tonces

En efecto

an+1 = a1 + n · d ;

• p.d.q. an+1 = a1 + n · d ;

n∈N

n∈N

• Datos
Si A = {a1 , a2 , a3 , . . . , } ⊂ R, una Progresi´ Aritm´tica de diferencia d
on
e
entonces de (50) tenemos que
a2 = a 1 + d
a3 = a2 + d = (a1+ d) + d = a1 + 2d
a4 = a3 + d = (a1 + 2d) + d = a1 + 3d
.
.
.
• Luego, el m´todo sugerido es Inducci´ para probar que la f´
e
on,
ormula
ı
F(s):
an+1 = a1 + n · d ; n ∈ N, es verdadera (∀n; n ∈ N).As´ que:
– p.d.q. F(1) es verdadera.
a1+1 = a2 = a1 + d.
As´ que F(1) es verdadera
ı
– Hip´
otesis de Inducci´
on:
Suponemos que F(k) es verdadera, es decir
ak = a1 + (k − 1)d

(H)– Tesis de Inducci´n:
o

p.d.q. F(k+1) es verdadera
ak+1 =
(H)

=
=

ak + d
a1 + (n − 1)d + d
a1 + nd

– As´ F(k+1) es verdadera.
ı

4. PROGRESIONES

59

• Luego,
an+1 = a1 + n · d

(∀n; n ∈ N)

(2) Si A = {a1 , a2 , a3 , . . . , } ⊂ R, es una Progresi´ Aritm´tica de diferencia d enon
e
tonces la suma de los n-primeros t´rminos se obtiene de la f´rmula.
e
o

 n (2a1 + (n − 1)d)
2
sn =
ai =
∨


n


i=1
2 (a1 + an )
n

(∀n; n ∈ N)

(∀n; n ∈ N)


En efecto

n

• p.d.q.

n

(2a1 + (n − 1)d)
2

ai =
i=1

• Datos
an = a1 + (n − 1)d
• Demostraci´ hacemos inducci´ para concluir que la f´

on,
on
ormula es verdadera
(∀n; n ∈ N):

n

F(n):

ai =
i=1

n
(2a1 + (n − 1)d), para cada n ∈ N.
2

– p.d.q.F(1) es verdadera
Por una parte:
1
i=1

1
ai = a1 y por otra parte; 2 (2a1 + (1 − 1)d) =

F(1) es verdadera.

otesis de inducci´

– Hip´
on:
suponemos que F(k) es verdadera, es decir:
k

ai =
i=1

k
(2a1 + (k − 1)d)
2

(H)

– Tesis de inducci´n: p.d.q. F(k+1) es verdadera.
o
En efecto

1
2

· 2a1 = a1 , as` que
ı

´
2. ARIT ETICA NATURAL

60

k+1

sk+1 =ai
i=1
k

=

ai + ak+1
i=1

(H)

k
2 (2a1

+ (k − 1)d) + ak+1

=


k
2 (2a1

+ (k − 1)d) + (a1 + kd)

=

2ka1 +k2 d−kd+2a1 +2kd
2

=

2a1 (k+1)+k(k+1)d
2

=

(k+1)
2 [2a1

=


+ kd]

– Ası, F(k+1) es verdadera.
´
Luego,
n

ai =
i=1

n
(2a1 + (n − 1)d)
2

(∀n; n ∈ N)

En particular, como a1 + (n − 1)d = an entonces
n
n
2 (2a1

ai =i=1

+ (n − 1)d)

= n (a1 + [a1 + (n − 1)d])
2
= n (a1 + an )
2
(3) En particular, como aplicaci´n inmediata tenemos que la suma de los n-primeros
o
naturales es:
n

i =
i=1

=

n
2 (1

+ (n − 1) · 1)

n(n+1)
2

4.3. Propiedades de las progresiones geom´
etricas.
(1) Si G = {a1 , a2 , a3 , . . . , } ⊂ R, es una Progresi´ Geom´trica de raz´ r entonces:
on
e
on
an+1= a1 · rn
n

(2) sn =

ai = a 1
i=1

(∀n; n ∈ N)


n


r −1
r − 1


(∀n; n ∈ N)

4. PROGRESIONES

61

Las demostraciones son ejercicios.
4.4. Ejercicios Resueltos de Progresi´ Aritm´
on
etica.
(1) La suma de tres n´
umeros en progresi´ aritm´tica (p.a) es 27 y la suma de sus
on
e
cuadrados es 293. Determine tales n´meros.
u
Soluci´n
o
Una estrategia pararesolver este tipo de problemas puede seguir la siguiente
rutina:
• Resolvemos el problema en abstracto, es decir, suponemos que los
n´
on
umeros x, y, z son la soluci´ del problema.
Ahora matematizamos el problema, sea
(72)

A = {x, y, z}

el conjunto que posee los n´meros pedidos
u
• ” Obligamos al conjunto A”, que satisfaga las propiedades del problema:
o
– A es una p.a. si y s´losi existe d ∈ R, tal que y = x + d y z = x + 2d.
As´ sustituyendo en ( 72) tenemos
ı
(73)

A = {y − d, y, y + d}

– Sabemos que x + y + z = 27 y entonces:
y − d + y + y + d = 27
3y = 27
y = 9

(74)

– Sustituyendo el valor de y obtenido en ( 74) en ( 73), tenemos
(75)

A = {9 − d, 9, 9 + d}

– Sabemos que x2 + y 2 + z 2 = 293 y entonces:
(9 − d)2 + 92 + (9 + d)2 = 293...