bachiller

1. Convolución y transformadas
Como hemos visto, la transformada de Laplace es lineal, es decir, la transformada de una suma es la suma de las transformadas, entonces cabe preguntarse si se tienealgo similar para el producto, la respuesta es no. En general la transformada no conmuta con la multiplicación ordinaria, o sea, la transformada de un producto no es el producto de las transformadas,pero podemos definir un nuevo producto generalizado bajo el cual esto es cierto.
 
 
 Definición [Convolución]
 
La función , donde  es el conjunto de funciones continuas en el intervalo  dadapor

se conoce como la convolución de  y .  
 
La convolución tiene muchas de las propiedades de la multiplicación ordinaria, como veremos en el siguiente teorema.
 
 
 Teorema [Propiedades dela convolución]
 
Sean  y  funciones continuas en el intervalo , entonces
1.  (ley conmutativa)
2.  (ley distributiva)
3.  (ley asociativa)
4.
 
2. Demostración 
La demostración de estaspropiedades es muy simple. Haremos la primera de ellas y dejamos las restantes al lector.




 


 


 



 
3. Observación: sin embargo, existen algunas propiedades de lamultiplicación ordinaria que la convolución no tiene. Por ejemplo, no es cierto en general que ; para ver esto, note que




 


 






Ejemplo 
Calcule la convolución de  y .
Solución
Usandola definición e integración por partes, tenemos que




 


 




Ejemplo 
Calcule la convolución de las funciones  y .
Solución
Usando la definición e integración por partes 


 




Observación: para calcular la integral

del ejemplo anterior, hemos usado la identidad

Otras identidades que pueden ser útiles en el cálculo de integrales similares sonEl siguiente teorema establece un resultado de mucha importancia teórica y práctica, como veremos.
 
 
 Teorema [Teorema de convolución]
 
Si  y  existen para , entonces

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