bachiller

Historia
El teorema de Pitágoras tiene este nombre porque su descubrimiento recae sobre la escuela pitagórica. Anteriormente, en Mesopotamia y el Antiguo Egipto se conocían ternas de valores que se correspondían con los lados de un triángulo rectángulo, y se utilizaban para resolver problemas referentes a los citados triángulos, tal como se indica en algunas tablillas y papiros. Sin embargo, noha perdurado ningún documento que exponga teóricamente su relación. La pirámide de Kefrén, datada en el siglo XXVI a. C., fue la primera gran pirámide que se construyó basándose en el llamado triángulo sagrado egipcio, de proporciones 3-4-5.
Demostraciones
El teorema de Pitágoras es de los que cuenta con un mayor número de demostraciones diferentes, utilizando métodos muy diversos. Una de lascausas de esto es que en la Edad Media se exigía una nueva demostración del teorema para alcanzar el grado de "Magíster matheseos".
Demostraciones supuestas de Pitágoras
Se estima que se demostró el teorema mediante semejanza de triángulos: sus lados homólogos son proporcionales.1
Sea el triángulo ABC, rectángulo en C. El segmento CH es la altura relativa a la hipotenusa, en la que determina lossegmentos a’ y b’, proyecciones en ella de los catetos a y b, respectivamente.
Los triángulos rectángulos ABC, AHC y BHC tienen sus tres bases iguales: todos tienen dos bases en común, y los ángulos agudos son iguales bien por ser comunes, bien por tener sus lados perpendiculares. En consecuencia dichos triángulos son semejantes.
De la semejanza entre ABC y AHC:
y dos triángulos sonsemejantes si hay dos o más ángulos congruentes.


De la semejanza entre ABC y BHC:


Los resultados obtenidos son el teorema del cateto. Sumando:



Pero , por lo que finalmente resulta:

Pitágoras también pudo haber demostrado el teorema basándose en la relación entre las superficies de figuras semejantes.
Los triángulos PQR y PST son semejantes, de manera que:

siendo r la razónde semejanza entre dichos triángulos. Si ahora buscamos la relación entre sus superficies:


obtenemos después de simplificar que:

pero siendo la razón de semejanza, está claro que:

Es decir, "la relación entre las superficies de dos figuras semejantes es igual al cuadrado de la razón de semejanza".
Aplicando ese principio a los triángulos rectángulos semejantes ACH y BCH tenemosque:

que de acuerdo con las propiedades de las proporciones nos da:
(I)
y por la semejanza entre los triángulos ACH y ABC resulta que:


pero según (I) , así que:

y por lo tanto:

quedando demostrado el teorema de Pitágoras.
Es asimismo posible que Pitágoras hubiera obtenido una demostración gráfica del teorema.
Partiendo de la configuración inicial, con el triángulo rectángulode lados a, b, c, y los cuadrados correspondientes a catetos e hipotenusa –izquierda-, se construyen dos cuadrados diferentes:
Uno de ellos –centro- está formado por los cuadrados de los catetos, más cuatro triángulos rectángulos iguales al triángulo inicial.
El otro cuadrado –derecha- lo conforman los mismos cuatro triángulos, y el cuadrado de la hipotenusa.
Si a cada uno de estos cuadradosles quitamos los triángulos, evidentemente el área del cuadrado gris () equivale a la de los cuadrados amarillo y azul (), habiéndose demostrado el teorema de Pitágoras.
Demostración de Euclides: proposición I.47 de Los Elementos
El descubrimiento de los números irracionales por Pitágoras y los Pitagóricos supuso un contratiempo muy serio.4 De pronto, las proporciones dejaron de tener validezuniversal, no siempre podían aplicarse. La demostración de Pitágoras de su teorema se basaba muy probablemente en proporciones, y una proporción es un número racional. ¿Sería realmente válida como demostración? Ante esto, Euclides elabora una demostración nueva que elude la posibilidad de encontrarse con números irracionales.
El eje de su demostración es la proposición I.475 de Los Elementos:
En...