Base y dimensio

nBASES Y DIMENSIÓN
Definición: Base. Se llama base de un espacio (o subespacio) vectorial a un sistema generador de dicho espacio o subespacio, que sea a la vez linealmente independiente.
Propiedades de las bases.
1. Una base de S es un sistema generador minimal de S (lo más pequeño posible).
2. Además es un conjunto independiente maximal dentro de S (lo más grande posible).
3. Una base de Spermite expresar todos los vectores de S como combinación lineal de ella, de manera única para cada vector.
Ejemplos de bases.
1. La base canónica (o base natural, o base estándar) deℜ n:
e1 = (1,0,. . . ,0)
e2 = (0,1,. . . ,0)
........
en = (0,0,. . . ,1)
- Son linealmente independientes porque forman un determinante no nulo.
- Son sistema generador de ℜn porque todo vector (a1,a2,. . .,an)∈ ℜn se puede expresar como combinación lineal de ellos:
(a1,a2,. . . ,an)= a1(1,0,. . . ,0)+ a2(0,1,. . . ,0)+ . . . + an(0,0,. . . ,1)
2. Otra base de ℜ3 distinta de la canónica: (1,0,0), (1,1,0), (0,2,-3).
- Son linealmente independientes porque forman un determinante no nulo.
- Son sistema generador de ℜ3 porque cualquier vector (a,b,c) se puede poner como combinación lineal de ellos.En efecto, dado (a,b,c), buscamos α,,γ que satisfagan β
(a,b,c)= α(1,0,0)+ (1,1,0)+γ(0,2,-3) β
Se obtiene un sistema:
α+= a β
β+2γ=b
-3γ = c
en las incógnitas α,,γ, que es compatible determinado para cualesquiera a,b,c. β
3. (1,2,3), (4,5,6), (7,8,9) en ℜ3 no forman base porque no son linealmente independientes (su determinante es nulo).
Neila Campos ÁLGEBRA LINEAL Espacios Vectoriales 214. Base de un subespacio
. En ℜ
3
, consideremos el subespacio S= plano XY. Veamos que los vectores (3,2,0) , (1,–1,0) forman una base de S. - Son linealmente independientes, porque uno no es múltiplo del otro. - Son un sistema generador de S: Dado un vector genérico de S, de la forma (a,b,0), lo podemos poner como combinación lineal de (3,2,0), (1,–1,0). Para ello, buscamos αque cumplan:β
(a,b,0)= α(3,2,0)+ (1,–1,0) 3α+= a ββ
S. C. D. para cualesquiera a,b.
2α–= b β
5. Extender un conjunto para que forme base. ¿Es (1,0,2), (1,0,–1) base de ℜ3?
- Son linealmente independientes, porque uno no es múltiplo del otro.
- Pero no son un sistema generador de ℜ3, porque no es cierto que todo vector de ℜ3 pueda ponerse como combinación lineal de ellos. Por ejemplo, el (0,1,0) no sepuede poner (resulta un sistema incompatible).
Por tanto no son base de ℜ3. ¿Puede obtenerse una base de ℜ3 de algún modo?
Sí, añadiendo algún otro vector de manera que siga siendo independiente de los anteriores, por ejemplo (0,1,0). Así el conjunto (1,0,2), (1,0,–1), (0,1,0) es linealmente independiente, y genera ℜ3, por tanto es base de ℜ3.
6. Reducir un conjunto para que forme base. ¿Es(2,0,0), (0,3,0), (4,1,0) base de S=plano XY de ℜ3 ?
- Son un sistema generador de S, pero no son independientes (su determinante es nulo).
Por tanto no son base de S. ¿Puede obtenerse una base de S de algún modo?
Teorema y definición: Dimensión.
Todas las bases de un mismo espacio o subespacio tienen el mismo número de vectores. Se llama dimensión de dicho espacio o subespacio.
Ejemplos dedimensión.
1. ℜn tiene dimensión n, pues tiene una base de n elementos (p.ej. la canónica).
2. M2x2= {matrices 2x2 con términos reales} tiene dimensión 4. Una base de M2x2 es:
0001 , , , 

0010
01001000
3. P2= {polinomios de grado2 con coeficientes reales} tiene dimensión 3. Una base de P≤2 es, por ejemplo, la formada por los tres polinomios siguientes:
1+0x+0x2, 0+x+0x2, 0+0x+x2 (es decir, los polinomios 1, x, x2).
Otra base: 1+2x+3x2, 4+x2, 3–x–5x2.
Sí. Estos tres vectores tienen rango 2, por tanto uno de ellos es combinación lineal de los demás y puede suprimirse: por ejemplo suprimimos (4,1,0), ya que al quitarlo no baja el rango. (También podría quitarse cualquiera de los otros dos). Los restantes vectores (2,0,0), (0,3,0) siguen generando el...