Bernouilli

3.7. Flujo sin fricción: la ecuación de Bernoulli 185

p1

o

1 2
V1
2

gz1

p2

1 2
V2
2

gz2

cte

(3.77)

Esta es la ecuación de Bernoulli para un flujo estacionario incompresible y sin fricción
a lo largo de una línea de corriente.

Relación entre la ecuación
de Bernoulli y la ecuación de la
energía en flujo estacionario

La Ecuación (3.77) es una forma muyextendida de la ecuación de Bernoulli para el
flujo estacionario incompresible y sin fricción a lo largo de una línea de corriente.
Claramente, esta ecuación está relacionada con la ecuación de la energía en régimen
estacionario, Ecuación (3.66), que también corresponde al flujo en un tubo de corriente
(con una entrada y una salida). Dicha ecuación se puede escribir en la forma:
p1

2
1V 1p2

2
2V 2

gz2 (û2 û1 q) ws w (3.78)
2
2
Esta relación es mucho más general que la ecuación de Bernoulli, ya que permite tener
en cuenta (1) la fricción, (2) la transferencia de calor, (3) el trabajo mecánico y (4) el
trabajo viscoso (otro efecto de la fricción).
La ecuación de Bernoulli (3.77) es una relación entre fuerzas obtenida a partir de
conservación de cantidad de movimiento.Las consideraciones que hay que tener en
cuenta en la Ecuación (3.77) son:
gz1

1. Flujo estacionario: una suposición muy común, aplicable a muchos flujos.
2. Flujo incompresible: aceptable si el número de Mach del flujo es inferior a 0.3.
3. Flujo sin fricción: muy restrictivo, las paredes sólidas introducen efectos de fricción.
4. Flujo a lo largo de una línea de corriente: líneas decorriente distintas pueden
tener diferentes “constantes de Bernoulli” w0= p/r + V 2/2 + gz, dependiendo de
las condiciones del flujo.
En la obtención de la ecuación de Bernoulli no se consideran tampoco transferencia
de calor o trabajo. La razón básica de estas restricciones es que en fluidos reales los
intercambios de calor y trabajo están ligados a efectos de fricción, lo que invalida lahipótesis de flujo sin fricción. Esos efectos termodinámicos son tenidos en cuenta en
la ecuación de la energía de un flujo estacionario [Ecuación (3.66)]. De ahí nuestra
advertencia: hay que ser precavido con el uso incorrecto de la ecuación de Bernoulli.
La Figura 3.15 ilustra algunas limitaciones prácticas del uso de la ecuación de
Bernoulli en la forma (3.77). En el ensayo en túnel de la Figura3.15a la ecuación
de Bernoulli sólo es válida en el núcleo del flujo del túnel, pero no en las capas límite de sus paredes ni en las capas límite o la estela del modelo, que son regiones donde
el efecto de la fricción es muy importante.
En la Figura 3.15b, la ecuación de Bernoulli es válida aguas arriba y aguas abajo de
la hélice, pero con una constante w0= p/r + V2/2 + gz distinta debido altrabajo aportado
al fluido por la hélice. La ecuación de Bernoulli no es válida cerca de las palas de la
hélice ni en los torbellinos helicoidales, no mostrados en la figura (véase Figura 1.14),
que se desprenden del borde de las palas. Además, las constantes de Bernoulli son
mayores en el flujo que “atraviesa” el disco de la hélice que en el ambiente debido a
la energía cinética del flujo enla estela.
En la Figura 3.15c, la Ecuación (3.77) es válida antes y después del fuego de la
chimenea, pero con constantes diferentes debido a la adición de calor. La ecuación de
Bernoulli no es válida en el propio fuego ni en las capas límite de la chimenea.

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Capítulo 3. Relaciones integrales para un volumen de control

Figura 3.15.Ilustración
de las zonas de validez o no
validez de la ecuación
de Bernoulli: (a) modelo en un
túnel aerodinámico; (b) hélice;
(c) chimenea.

Líneas de nivel de energía
y de altura motriz

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Una interpretación visual muy útil de la ecuación de Bernoulli se obtiene representando
dos líneas del flujo. La línea de nivel de energía (LNE), también conocida como línea
de...