biotecnologia

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Universidad Técnica Federico Santa María
Departamento de Matemática

VARIAS VARIABLES
para MAT023
Verónica Gruenberg Stern
veronica.gruenberg@usm.cl

Nociones de Topología en Rn

Definición 1.1. Sea x ∈ Rn ,
n

x

=

x = (x1 , x2 , · · · , xn ). Definimos la norma de x, y escribimos

x2
i
i=1

Notar que la norma de un vector en Rn así definida es un número real nonegativo y corresponde
al tamaño ó magnitud de dicho vector.
Definición 1.2. Si x, y ∈ Rn ,
entre ellos está dada por

x = (x1 , x2 , · · · , xn ),

y = (y1 , y2 , · · · , yn ), entonces la distancia
n

d(x, y) =

x−y

=
i=1

(xi − yi )2 .

Si n = 1, 2 ó 3, la distancia así definida coincide con la distancia euclideana usual.
En efecto, si n = 1,

x = x ∈ R,

y = y ∈ R,d(x, y) = d(x, y) =
Si n = 2,

x = (x1 , x2 ),

y = (y1 , y2 ),

por lo que la distancia
(x − y)2 = |x − y|

entonces

2

d(x, y) = x − y =

i=1

(xi − yi )2 =

(x1 − y1 )2 + (x2 − y2 )2

Análogamente en el caso en que n = 3.

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1.

Propiedades

Sean x, y ∈ Rn , α ∈ R.
1. x ≥ 0, y

Entonces se cumplenlas siguientes:

x =0

→
−
x= 0.

⇐⇒

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1.1.

2. αx = |α| x .
3. x − y = y − x .
n

4.
i=1

x i yi ≤ x

y , conocida como la desigualdad de Cauchy–Schwarz .

Demostración. Demostraremos sólo 4 y 5.
→
−
4. Supongamos que x, y son vectores l.i. Luego, tx−y = 0 , ∀t ∈ R, de donde tx − y
es decir:
(tx1 − y1 )2 + (tx2 − y2 )2 + · · · + (txn − yn )2 = 0

2

=0,

Reescribiendo esta relación como una cuadrática en la variable t:
n

n

x2
i
i=1

t2 − 2

n

t +

x i yi

= 0

2
yi

i=1

i=1

Esto significa que el discriminante de la correspondiente ecuación de segundo grado en t es
negativo, es decir,
2

n

4

n

− 4

xi yi
i=1

⇐⇒

x i yi
i=1

< 0

2
yi

i=1
2

n

n

x2
i
i=1
n

n

x2
i<
i=1

2
yi
i=1

y extrayendo raíz cuadrada a ambos lados de la desigualdad, obtenemos la desigualdad pedida.
5.

x+y

2

= (x + y) · (x + y)
= x 2 + 2 (x · y) + y 2
≤ x 2 + 2 |x · y| + y 2
≤ x 2 + 2 x y + y
≤ ( x + y )2

Nuevamente, extrayendo raíz cuadrada, obtenemos lo pedido.

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2

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5. x + y ≤ x + y ,conocida como la desigualdad triangular .

Definición 1.3. Definimos la bola abierta ó vecindad abierta de centro a y radio r, al conjunto

Ejemplos
1. En R2 , B (2, 2), 1 = (x, y) ∈ R2 : (x, y) − (2, 2) < 1 = (x, y) ∈ R2 : (x − 2)2 + (y − 2)2 < 1 .
2. Análogamente, en R3 ,

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B(a, r) = {x ∈ Rn : x − a < r} .

B (2, 2, 1), 1 = (x, y, z) ∈ R3 : (x − 2)2 + (y − 2)2 + (z − 12 < 1 .z

Y

2.0

-1.
0

2
1

5.0

4.0

3.0

2.0

1.0
-1.
0

1.0

1.0
-1.

0

2.0

3.0

−2

−1

1

2

3

4

4.0

5.0

y

x

X

(a) disco

(b) esfera

Definición 1.4. Sea U ⊆ Rn . Diremos que el conjunto U es abierto ⇐⇒ ∀ x0 ∈ U ∃r > 0 :
B(x0 , r) ⊂ U .
Ejemplos
1. En R, los intervalos de la forma I1 =]a, b[, I2 =] − ∞, b[, I3 =]a, ∞[ sonconjuntos abiertos.
En cambio no son conjuntos abiertos los intervalos de la forma I4 = [a, b], I5 =]a, b],
I6 = [a, b[, I7 =] − ∞, b], I8 = [a, ∞[.
2. En R2 , el conjunto A = {(x, y) ∈ R2 : x2 + y 2 < 1} = B (0, 0), 1 es un conjunto abierto. Es
fácil ver que, en general,

B (a0 , b0 ), r

es un abierto,
Y

X

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∀(a0 , b0 ) ∈ R2 .

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3.0

3

3. En R2 , el conjunto
superior.

H = {(x, y) ∈ R2 : y > 0}

es abierto. Se conoce como el semiplano

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Y

X

4. En R3 , el conjunto A = {(x, y, z) ∈ R3 : x2 + y 2 + z 2 < 9} es abierto. Gráficamente, es el
interior de una esfera de radio 3 centrada en el origen (sin el borde).

x

y

Definición 1.5. Diremos que el conjunto F ⊆ Rn es cerrado...