Buenas Tareas

TRANSFORMACIONES CANÓNICAS, CORCHETES DE POISSON Y ECUACIÓN DE HAMILTON-JACOBI 1. En un Hamiltoniano de dos grados de libertad independiente del tiempo nos basta encontrar otra constante del movimiento para poder decir que el problema está integrado. Si esta segunda constante, I(p,q), es a su vez independiente del tiempo, debe satisfacer la condición: [I ,H ] = 0. Supongamos una partícula de masaunidad moviéndose en un potencial bidimensional V (q1 , q 2 ) . Hallar: la constante más simple de la forma I (p, q) = e(q) p1 + f (q) p 2 , donde e y f son funciones a determinar, y una forma correspondiente del potencial V , para poder asegurar que el problema está integrado. ¿Cuál es el significado físico de I ? Con lo que usted sabe de mecánica, ¿ hay una forma consistente de hallar la formageneral del potencial sin resolver ecuación alguna? Si insertamos H e I en la condición [I ,H ] = 0, e igualamos los coeficientes de los términos en los momentos, encontramos:

∂e ∂ f = 0, = 0, ∂ q1 ∂ q2

∂ f ∂e ∂V ∂V + = 0, e + f = 0. ∂ q1 ∂ q2 ∂ q1 ∂ q2
e = − q2 , f = q1 .

De las tres primeras ecuaciones podemos obtener, por ejemplo: La constante es entonces: I = q1 p 2 − q 2 p1 , que noes otra cosa mas que el momento angular. Es razonable pensar que el potencial es un potencial central,
2 V = V (q12 + q 2 ) ,

enteramente consistente con la cuarta ecuación en derivadas parciales. -------------------------------2. En el caso de un sistema unidimensional con la hamiltoniana p2 1 H= − 2 2 2q determínense las funciones f(q,p) y g(q,p) de manera que D = f (q , p ) + g (q , p )tsea una constante del movimiento. La función D debe ser solución de:
32

∂D = [H , D ] ∂t
lo que, utilizando la forma de D, lleva a la ecuación g=

∂H ∂f ∂H ∂g ∂H ∂f ∂H ∂g + t− − t ∂q ∂p ∂q ∂p ∂p ∂q ∂p ∂q ∂H ∂g ∂H ∂g − =0 ∂q ∂p ∂p ∂q ∂H ∂f ∂H ∂f − =g ∂q ∂p ∂p ∂q

Igualando los coeficientes de t, se llega a las ecuaciones

La primer ecuación muestra que g = H es solución. Utilizando esteresultado en la segunda, ésta queda

∂f p 2 1 ∂f 1 −p = − 2 3 ∂q 2 2 q q ∂p
con lo que

∂f q ∂f p =− ; =− 2 2 ∂p ∂q
es decir: f =− pq 2

--------------------------------------

3. Sean q y p la coordenada y el momento generalizados de un sistema material de un grado de libertad; sean Q y P funciones de q y p tales que P = q + p. Se pide a) Determinar Q de la forma más general posible, demodo que la transformación de (q,p) a (Q,P) sea canónica; b) Demostrar que cualquiera que sea la expresión para P la solución general viene dada por Q = f ( P ) + g ( q, p ) donde g(q, p) es solución particular de la ecuación [Q,P] = 1. Para que la transformación sea canónica debe cumplirse ∂P ∂Q ∂P ∂Q − =1 ∂p ∂q ∂q ∂p

33

Si P = p + q, la condición anterior queda como: ∂Q ∂Q − = 1. ∂q ∂pLa solución de la ecuación anterior es suma de la correspondiente a la ecuación homogénea y de una solución particular de la ecuación completa. La integral de la ecuación homogénea es de la forma: Q hom = f ( p + q ) siendo f una función arbitraria. Por otra parte, Q = q es una solución particular de la ecuación inhomogénea, luego la solución general es: Q = q + f ( p + q) Para el caso general enque P es una función cualquiera de p y q, la solución a la ecuación homogénea, [P,Q] = 0, es de la forma Q hom f ( P ) , como puede verificarse por simple sustitución. ----------------------------------4.

Una masa m está conectada a un resorte de constante k1 y oscila armónicamente sin rozamiento con una amplitud inicial A1. Se reduce la constante del resorte de modo adiabático (equivalente ahacerlo muy despacio) de forma constante hasta llegar a un valor k2 (suponga, por ejemplo, que calentamos el resorte). Calcúlese la nueva amplitud de oscilación. I.NOTA: Si p y q son el momento y la posición de la masa, la cantidad I =∫ pdq 2π

donde la integral se define a lo largo de una sola oscilación completa, es lo que se llama un invariante adiabático. Ello quiere decir que, aunque la...