Buenos Trabajos

Núcleo o kernel, e imagen de una transformación 
lineal.
Definición:
Sean V y W espacios vectoriales sobre el mismo campo K y T una transformación lineal de V en W. El núcleo o kernel de Tes:

N ( T )   ( Ker T )   =   { v Î V   :   T ( v )   =   0 w.
Si   es lineal, se define el núcleo y la imagen de T de la siguiente manera:
Es decir que elnúcleo de una transformación lineal está formado por el conjunto de todos los vectores del dominio que tienen por imagen al vector nulo del condominio. 

• El núcleo de toda transformación lineal es unsubespacio del dominio: 

1. dado que T (0V) = 0W 
2. Dados
3. Dados   
Se denomina nulidad a la dimensión del núcleo. Nulidad (T) = dim (Nu (T))-}

O sea que la imagen de unatransformación lineal está formada por el conjunto de todos los vectores del condominio que son imágenes de al menos algún vector del dominio. 

    La imagen de toda transformación lineal es un subespaciodel condominio. El rango de una transformación lineal es la dimensión de la imagen.

Rg (T) = dim (Im (T))

Sea   una transformación linealde   en   ; se define el núcleo de   como nótese que   es un subespacio de. Por otro lado, se define la imagen de   cómo  para algunos es un subespacio de. Si   es un subespacio de   y   es unsubespacio de, entonces los conjuntos son subespacios de   y   respectivamente. Obsérvese que   , e   . La dimensión del espacio imagen   se conoce como el rango de la transformación, y se denota porejemplos.

Ejemplos.

Ejemplo 1. A partir de la definición, analicemos si es lineal la siguiente transformación:

T: R2  R3 /  x Î  R2 : T ((x1, x2)) = (x1 + x2, x1 - x2, x2)

Se deben verificarlas dos condiciones de la definición:

a) ¿  x, y Î  R2 : T (x + y) = T (x) + T (y) ?

x = (x1, x2)
y = (y1, y2) 
x + y = (x1 + y1, x2 + y2) 

T (x + y) = T (x1 + y1, x2 + y2) = (x1 + y1 +...