BUSQUEDA UNIVARIADA

Práctica 1 Optimización de Procesos Químicos
Uso de funciones de la Toolbox de optimización de Matlab
Objetivo:
El objetivo de esta práctica es doble:



Familiarizarse con la Toolbox de Optimización de Matlab
Aplicar los distintos métodos de optimización de funciones sin restricciones tanto de
una como de varias variables vistos en la teoría

Cada grupo de alumnos entregará un guión con losresultados.
Preparación de la práctica

Antes de comenzar a trabajar en problemas de optimización numéricos, es conveniente
que el alumno aprenda a:
 Definir una función de una y de varias variables en Matlab
 Representar gráficamente funciones de una y de varias variables en Matlab y sus
curvas de nivel.
 Calcular analíticamente los mínimos (o máximos) y comprobar en las gráficas el
resultado
Estudiar la convexidad de las funciones y de las regiones definidas por las
curvas de nivel.
Para este fin pueden usarse las funciones que figuran más adelante en los apartados de
Ejercicios propuestos.
A continuación se da un ejemplo del código en Matlab que permite dibujar una gráfica,
y las curvas de nivel para una función de dos variables (J = x 1 2-x 2 ) en el intervalo [3,3] para x 1 y[-3,5] para x 2 :
l1=-3;
L1=3;
l2=-3;
L2=5;
g=0.2;
x1=[l1:g:L1];
x2=[l2:g:L2];
N1=fix((L1-l1)/g);
N2=fix((L2-l2)/g);
for i=1:N1,
for j=1:N2,
J(j,i)=x1(i)^2-x2(j);
end
end
figure(1)
surf(x1(1:N1),x2(1:N2),J(1:N2,1:N1))
1

figure(2)
contour(x1(1:N1),x2(1:N2),J(1:N2,1:N1))
Otra opción es utilizar la función meshgrid. Esta función define una matriz de puntos
sobre los cuales se evalúa la función (más deuna variable), para hacer su representación
gráfica. Y luego se utiliza la función surf o contour, tal como se ilustra en el siguiente
ejemplo, donde se dibujan las curvas de nivel de la función J(x,y) = xexp(x2-y2):
x = -2:.2:2;
y = -2:.2:2;
[X,Y] = meshgrid(x,y);
J = X.*exp(-X.^2-Y.^2);
figure(1)
surf(J)
figure(2)
contour(J)

Problemas de Optimización en Matlab

Los problemas de optimización defunciones de una variable sin restricciones, conocida
como optimización escalar, que matemáticamente se formulan de la siguiente manera:
min J x 
x

xR
Donde se trata de encontrar la variable x (escalar), en el dominio de los reales, que
minimice la función J, es decir que el valor de la función evaluada en x sea el valor
mínimo que puede alcanzar J en la región definida por los “límites”impuestos a x.
La función de Matlab que resuelve este tipo de problemas es fminbnd, que tiene la
siguiente sintaxis:
x = fminbnd(@fun,x1,x2,opciones)
Esta función retorna o devuelve a la variable x la solución al problema, que está
definido en fun.
En las funciones de optimización, el nombre de la función va precedido de @
El algoritmo de optimización que utiliza esta función es el método de búsqueda dela
Sección Dorada y el de interpolación parabólica.
Nótese que la solución no es más que el escalar que minimiza el valor de la función J, y
los parámetros x 1 y x 2 , definen la región de búsqueda de la solución. En el parámetro
definido opciones, se pueden especificar parámetros tanto del algoritmo como de
ejecución de la función. En caso de no ser utilizado, ya que estos parámetros tienenvalores por defecto, se puede poner en su lugar [], o simplemente omitirlo.

2

[x,fval] = fminbnd(@fun,x1,x2,opciones)
En este caso, además en fval, se devuelve el valor de la función J evaluada en la
solución x
[x,fval,exitflag] = fminbnd(@fun,x1,x2,opciones)
En el parámetro exitflag la función devuelve un valor que describe la condición de
salida de fminbnd:
 > 0 indica que la función converge ala solución
 0 indica que se ha excedido el máximo número de evaluaciones de la función
 < 0 indica que no se ha encontrado solución
Ilustración de como resolver un problema de optimización sin restricciones de
funciones de una variable en Matlab, utilizando la función fminbnd de la toolbox de
optimización.
Obtener el mínimo de la función: f  x   x 2  12 x  3 en el intervalo  4  x  4...