Cálculo Diferencial Cap5

CAPÍTULO

5
FUNCIONES

TRASCENDENTALES
DERIVADAS

Y

Sesión 5.1 Función exponencial de base e

58

Sesión 5.2 Función logaritmo natural

59

Sesión 5.3 Derivación logarítmica

61

Sesión 5.4 Funciones exponenciales y logarítmicas de base a

63

Sesión 5.5 Funciones trigonométricas

64

Sesión 5.6 Funciones trigonométricas inversas

66

Sesión 5.7 Funcioneshiperbólicas

68

Sesión 5.8 Funciones hiperbólicas inversas

SUS

69

57

58    •    C a p í t u l o 5

F unciones trascendentales y sus derivadas

S eSión 5 .1 F unción

e xponencial d e b aSe

e

Problemas resueltos
Ejemplo 1. Encuentre la derivada de f ( x) = x ²e -2 x .
Solución:
f '( x) = x ²e -2 x (-2) + e -2 x (2 x)
f '( x) = -2 x ²e -2 x + 2 xe -2 x



f '( x) =-2 xe -2 x ( x - 1)
Ejemplo 2. Use derivación implícita para encontrar

dy
en y ³ + xe y = 3 x ² - 10 .
dx

Solución:
3 y ² y '+ xe y y '+ e y (1) = 6 x
3 y ² y '+ xe y y ' = 6 x - e y
y '(3 y ² + xe y ) = 6 x - e y
y' =



6x - e y
3 y ² + xe y

Problemas propuestos
I. En los ejercicios del 1 al 5 derive y simplifique las funciones dadas.
1. f ( x) = e3 x ²
3.

f (x) = (e5. f ( x) =

4x

2. f ( x) = e

5

x +1

4. f ( x) = 1 + e

2x

ex
( x ² + 1)

II. En los ejercicios 6 y 7 encuentre y´ por derivación implícita.
6. e xy - x ³ + 3 y ² = 11

7. xe y - ye x = 2

Función logaritmo natural     •    59

Respuestas
3x 2

1.

3.

f x= e

2.

f '( x) = 6 xe

5.

f '( x) =

7.

y' =

4x

e x−
4

e ( x ² - 2 x + 1)
( x² + 1)²

f '( x) =

4.

f '( x) =

6.

y' =

x

e x+1
2 x +1
e x+1
2

x +1

3 x 2 - ye xy
xe xy + 6 y

ye x - e y
xe y - e x

S eSión 5 .2 F unción

l ogaritmo n atural

Problemas resueltos
Ejemplo 1. Dada f ( x) = ln(3 x ² - 6 x + 8) , encuentre f '( x) .
Solución:
f '( x) =

1
6x - 6
(6 x - 6) =
3x ² - 6 x + 8
3x ² - 6 x + 8

1
Ejemplo 2. Encuentre laderivada de f ( x) = 3 x ln x - ln x aplicando propiedades de
2
los logaritmos.
Solución:



1
f ( x) = 3 x ln x - ln x
2
Luego derivamos



1
f '( x) = 3 xDx (ln x) + ln xDx (3 x) - Dx (ln x)
2
11
1
f '( x) = 3 x   + (ln x)(3) -  
2 x
x
1
f '( x) = 3 + 3ln x 2x

60    •    C a p í t u l o 5

F unciones trascendentales y sus derivadas

Problemas propuestosDerive y simplifique las funciones dadas:
1. f ( x) = ln(2 - 3 x)5

2. f ( x) = ln(7 - 2 x 3 )1/ 2

3. f ( x) = ln(3 x 2 - 2 x + 1)

4. f ( x) = ln 4 x 2 + 7 x

5. f ( x) = x ln x

6. f ( x) = ln x 3 + (ln x)3

7. f ( x) =

3








1
1
+ ln  
ln x
x

8. f ( x) =ln  x

4 + x2
4 - x2

x2 + 1
(9 x - 4) 2

10. f ( x) = ln

x 2 (2 x - 1)3
( x +5) 2

9. f ( x) = ln




Respuestas
1. f ´(x)=

3. f ´(x)=

-15
2 - 3x

6x - 2
2
3x - 2 x + 1

-3 x 2
7 - 2 x3

2. f  ´(x)=

8x+7
3(4 x 2 + 7 x )

4. f ´(x)=

5. f ´(x)= (1 + ln x)

6. f ´(x)=

3 + 3ln 2 x
x

2


7. f ´(x)= ( -1) 1 + ln x

8. f ´(x)=

16 - 8 x 2 - x 4
x(4 + x 2 )(4 - x 2 )



x  ln 2 x 

9. f ´(x)=

-9 x 2 - 4 x - 18
( x2 + 1)(9 x - 4)

10. f ´(x)=

6 x 2 + 50x-10
x(2x-1)(x + 5)

Derivación logarítmica     •    61

S eSión 5 .3 d erivación

l ogarítmica

Problemas resueltos
Ejemplo 1. Encuentre y’ por derivación logarítmica de la función
3
2
y = x x -1 .
2
( x - 2) 2

Solución:
Paso 1 ln y = ln

Paso 2

x3 x 2 - 1
.
( x 2 - 2) 2

ln y = ln x3

x 2 - 1 – ln (x2 – 2)2

(propiedadA).

ln y = ln x3 + ln x 2 - 1 – ln (x2 – 2)2

Paso 3

Paso 4

(igual).

ln y = 3 ln x + 1 ln (x2 – 1) – 2 ln (x2 – 2)
2
y' 3 1 2x
2x
=+
-2 2
y x 2 ( x 2 - 1)
( x - 2)

(propiedad C a cada témino).
(derivando ambos lados).

3
x
4x 
y' =  + 2
-2
y
 x x - 1 ( x - 2) 
3
x
4 x  x3 x 2 - 1
y' =  + 2
-2
2
2
 x x - 1 ( x - 2)  ( x - 2)

Ejemplo 2....