Cálculo DIferencial

LA DERIVADA Y ALGUNAS
D E SU S APLICACIONES

EJERCICIOS
RESUELTOS

CUADERNO DE EJERCICIOS DE CÁLCULO I
LA DERIVADA Y ALGUNAS DE SUS APLICACIONES

III.1

Obtener la derivada por el método de los 4 pasos

y =

x−4
x+4

SOLUCIÓN:
1.

y +∆y =

2.

∆y=

∆y =

∆y =

3.

4.

∆y
∆x

=

lím
∆ x →0

x + ∆x − 4
x + ∆x + 4

x + ∆x − 4
x + ∆x + 4

−

x−4x+4

=

( x + ∆x − 4 ) ( x + 4 ) − ( x + ∆x + 4 ) ( x − 4 )
( x + ∆x + 4 ) ( x + 4 )

x 2 + x ∆ x − 4 x + 4 x − 16 − x 2 − x ∆ x − 4 x + 4 x + 4 x ∆ x + 16

( x + ∆x + 4 ) ( x + 4 )

8 ∆x
( x + ∆x + 4 ) ( x + 4 )

8 ∆x
∆ x ( x + ∆ x+ 4 ) ( x + 4 )

∆y
∆x

=

8
( x+4)( x+4)

127

=

8
( x + 4 )2

;

dy
dx

=

8
( x + 4 )2

CUADERNO DE EJERCICIOS DE CÁLCULO ILA DERIVADA Y ALGUNAS DE SUS APLICACIONES

III.2

Derive por el método de los 4 pasos

f (x)=

2x + 3

SOLUCIÓN:
1.

f ( x + ∆x ) =

2.

f ( x + ∆x ) − f ( x ) =

2 ( x + ∆x ) + 3 −

2x + 3

f ( x + ∆x ) − f ( x )

2 ( x + ∆x ) + 3 −

2x + 3

3.

4.

2 ( x + ∆x ) + 3

∆x

=

∆x

f ( x + ∆x ) − f ( x )

lím

∆x

∆ x →0

∆ x →0

∆x 



2∆ x∆ x →0

∆x 



2 ( x + ∆x ) + 3 +

dx

2x + 3 


2 ( x + ∆x ) + 3 +

2

d

=

2x + 3 


2 ( x + ∆x ) + 3 +

= lím

∆ x →0

2x + 3

∆x

∆ x →0

2 ( x + ∆ x ) + 3 − 2 x −3

= lím

= lím

2 ( x + ∆x ) + 3 −

= lím

2x + 3 =

2x + 3
1

2x + 3

128

=

2
2x + 3 +

2x + 3

=

1
2x + 3

CUADERNO DE EJERCICIOS DE CÁLCULO I
LADERIVADA Y ALGUNAS DE SUS APLICACIONES

III.3

Derive aplicando el método de los 4 pasos

y=3

5 − x2

SOLUCIÓN:
1.

y + ∆y =3

2.

∆y = 3

5 − ( x + ∆x )2 − 3

5 − x2

3

5 − ( x + ∆x )2 − 3

5 − x2

3.

∆y
∆x

=

5 − ( x + ∆ x) 2

∆x

=

3

(

5 − ( x + ∆x )2 −
∆x 

5 − x2

)(

5 − ( x + ∆x )2 +

5 − ( x + ∆x )2 +




3  5 − ( x + ∆x)2 − 5 + x2 




=
∆x  5 − ( x + ∆x )2 + 5 − x2 





=

3  −2x ∆ x − ( ∆ x )2 




∆x 




5 − ( x + ∆x )2 +

3 [ −2x − ( ∆ x )

=

5 − ( x + ∆x )2 +

4.

lím

∆ x →0

∆y
∆x
dy
dx

=

=

]

5 − x2

3 ( −2x )
5 − x2 +

5 − x2 



5 − x2

− 3x
5 − x2
129

−6 x

=
2

5 − x2

5 − x2 



5 − x2

)CUADERNO DE EJERCICIOS DE CÁLCULO I
LA DERIVADA Y ALGUNAS DE SUS APLICACIONES

III.4

Obtener la derivada por el método de los 4 pasos

y =
1.

y + ∆y =

2.

∆y =

3.

=

=

=

=

(

3

∆y
∆x

x2 −1

3

( x + ∆x )2 −1

3

( x + ∆x )2 −1 − 3 x2 −1

3

3

=

( x + ∆x )2 −1 − 3 x2 −1
∆x

( x + ∆ x ) −1 −
2

3

) (
(







x −12

∆x

3

3

)
−1 ) +
2

( x + ∆ x ) −1
2

( x+∆ x)

2

3

+

2

3

( x + ∆ x ) −1
2

3

3

( x + ∆ x ) −1
2

(
− 1 +(

x −1 +
2

x

2

3

3

( x + ∆x )2 −1 − x2 + 1

∆x 


(

3

)

( x + ∆x )2 −1

2

3

+

x2 −1 +

3

( x + ∆ x )2 − 1

(

(

3

3

)

x 2 −1





2

x2 + 2x ∆x + ∆x2 − x2

∆x 

(

3

)

( x + ∆x )2 −1

2

+

3

( x + ∆ x ) 2 −1

3

x2 −1 +

)

x2 −1

2

2x + ∆x




(

3

)

( x + ∆x ) −1
2

4.

lím

∆ x →0

2

∆y
=
∆y



=
3

3

+

(
(

3

( x + ∆x ) −1
2

( x)2 − 1
2x

3

( x) − 1
2

) (
2

)

2

130

+

3

x −1 +
2

2x
3

( x)2 − 1

∴

(

) (
2

dy
=dx

x −1

+

)

x2 −1

3

)

2

3

2x

(

3 x −1
2

)

2
3

2

2













)
−1 )

x −1
2

x

2

2

2








CUADERNO DE EJERCICIOS DE CÁLCULO I
LA DERIVADA Y ALGUNAS DE SUS APLICACIONES

Obtener la derivada de cada una de las siguientes funciones
III.5

y = sen a x
SOLUCIÓN:

dy
d
= cos a x
a x = a...