Cálculo integral

Tema

3

Cálculo integral

1

Ciencias del mar

Cálculo integral

para funciones de una variable

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3

Cálculo integral

2

Ciencias del mar

Concepto de primitiva
F(x) es primitiva de f(x) en [a, b] sii F'(x) = f(x) ∀x ∈ [a, b].

• Si F(x) es primitiva de f(x) en [a, b], entonces F(x) + C es también primitiva de f(x) en [a, b], ya que d ( F ( x) + C ) = F '( x) +0 = f ( x) dx • F’(x) = G’(x) ∀x∈ [a, b] ⇒ F(x) – G(x) = C ∀x∈ [a, b] ya que • F(x) y G(x) son continuas en el intervalo [a, b] • F(x) y G(x) son derivables en ]a, b[ • F’(x) = G’(x) ∀x∈ ]a, b[

Tema02. 16. Corolario II

F(x) – G(x) = C ∀x∈ [a, b]

Por tanto: todas las primitivas de una función definidas en un [a, b] se diferencian en una constante

∫ f ( x) ⋅ dx = F ( x) + C ⇔ F '( x) = f( x), ∀x ∈ [a, b]
Indica el final de la integral Integrando Integral indefinida 1

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Cálculo integral

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Ciencias del Mar

Propiedades de la integral indefinida
d i dx

( ∫ f ( x)dx ) = f ( x)

i ∫ ( f1 ( x) + f 2 ( x) ) dx = ∫ f1 ( x)dx + ∫ f 2 ( x)dx

i ∫ a ⋅ f ( x)dx = a ∫ f ( x)dx, ∀a ∈ R
Las constantes pueden salir y entrar del integrando

•

De la mismamanera que la derivada del producto de funciones no es el producto de las derivadas, la integral del producto de funciones no es el producto de las integrales. 2

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4

Ciencias del Mar

Tabla de primitivas inmediatas
∫
f n ( x) ⋅ f '( x) dx = [ f ( x)]n +1 + C / n ≠ −1 n +1

Caso particular: 1 Para n = − , se obtiene 2 f '( x) ∫ 2 f ( x) dx = f ( x) + CPara n = –1, se tiene:

∫
∫a
f ( x)

f '( x) dx = ln | f ( x) | +C f ( x)

a f ( x) f '( x)dx = + C siendo a > 0 ln a

Caso particular. Para a = e se obtiene e f ( x) e f ( x ) f '( x)dx = + C = e f ( x) + C ∫ ln e

∫ cos f ( x) ⋅ f '( x) ⋅ dx = sen f ( x) + C

∫ sen f ( x) ⋅ f '( x) ⋅ dx = − cos f ( x) + C

∫ cos

f '( x) dx = 2 f ( x)
2

∫ sen

f '( x) dx = 2 f ( x)
2

∫sec f ( x) ⋅ f '( x) ⋅ dx = tan f ( x) + C . ∫ sec f ( x) ⋅ tan f ( x) ⋅ dx = .
=

∫ csc f ( x) ⋅ f '( x) ⋅ dx = − cot f ( x) + C ∫ csc f ( x) ⋅ cot f ( x) ⋅ dx = .
=

∫ cos

sen f ( x) f '( x) ⋅ dx = sec f ( x) + C 2 f ( x)
dx = arcsen f ( x) + C

∫ sen

cos f ( x) f '( x) ⋅ dx = − csc f ( x) + C 2 f ( x)
dx = arccos f ( x) + C

∫

f '( x) 1 − f 2 ( x)

∫

− f '( x) 1 − f 2( x)

∫ 1+ f ∫

f '( x) dx = arctan f ( x) + C 2 ( x) f '( x) dx = arc sec f ( x) + C f ( x) f 2 ( x) − 1

∫ 1+ f ∫

− f '( x) dx = arc cot f ( x) + C 2 ( x) − f '( x) dx = arc csc f ( x) + C f ( x) f 2 ( x) − 1

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Cálculo integral

5

Ciencias del Mar

Cálculo de primitivas por descomposición

f ( x) = ∑ fi ( x)
i =1

n

con primitiva inmediata

∫

n ⎛ n ⎞ f( x) ⋅ dx = ∫ ⎜ ∑ fi ( x) ⎟ ⋅ dx = ∑ ∫ fi ( x) ⋅ dx i =1 ⎝ i =1 ⎠

4

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6

Ciencias del Mar

Integrales inmediatas tipo potencial (I)

∫
1 2

[ f ( x )]n ⋅ f '( x ) ⋅ dx
2

[f (x)]n +1 = +C n +1

∫ ∫ ∫

sen x ⋅ cos x ⋅ dx = ∫
2

1 sen 3 x + C = sen 3 x + C ( sen x ) ⋅ cos x ⋅ dx = 3 3 1 (sen 2 x) 2 ⋅ 2 cos 2 x ⋅ dx 2∫

sen 2 2 x ⋅ cos 2 x ⋅dx = ∫ (sen 2 x) 2 ⋅ cos 2 x ⋅ dx =

3

1 11 3 = sen 3 2 x + C = sen 2 x + C 6 23 x4 x3 x2 3 2 3 (2 x + 3) dx = ∫ (8 x + 36 x + 54 x + 27) ⋅dx = 8 + 36 + 54 + 27 x + C 4 3 2 = 2 x 4 + 12 x 3 + 27 x 2 + 27 x + C
3

4

1 1 (2 x + 3) 4 1 3 (2 x + 3) dx = ∫ 2(2 x + 3) dx = + C = (2 x + 3) 4 + C ∫ 2 2 4 8 más adelante (e 2 x + 3) 2 e3 x ⋅ dx ∫
15

Tema

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7Ciencias del Mar

Integrales inmediatas tipo potencial (II)
5 6 7

1 1 (e 2 x + 1) 4 1 2x 3 2x (e + 1) e ⋅ dx = ∫ (e + 1) 2e ⋅ dx = + C = (e 2 x + 1) 4 + C ∫ 2 2 4 8
2x 3 2x

1 ln x 1 1 2 (ln x) 2 1 1 ⋅ dx = ∫ (ln x) ⋅ dx = ∫ (ln x) ⋅ dx = + C = ln x + C ∫ x x x 2 2

(5 + cos 3 x)3 sen 3 x ⋅ dx = − ∫

1 (5 + cos 3 x)3 (−3 sen 3 x) ⋅ dx 3∫ 1 1 (5 + cos 3 x) 4 4 =− + C = − (5 + cos 3 x) +...