Cónicas

CÓNICAS

Se denomina sección cónica (o simplemente cónica) a todas las curvas resultantes de las diferentes intersecciones entre un cono y un plano; si dicho plano no pasa por el vértice, se obtienen las cónicas propiamente dichas. Se clasifican en cuatro tipos:  elipse,  parábola,  hipérbola  y  circunferencia.

Tipos
En función de la relación existente entre el ángulo de conicidad (α) y lainclinación del plano respecto del eje del cono (β), pueden obtenerse diferentes secciones cónicas, a saber:
β < α : Hipérbola (naranja)
β = α : Parábola (azulado)
β > α : Elipse (verde)
β = 90º: Circunferencia (un caso particular de elipse) (rojo)
Si el plano pasa por el vértice del cono, se puede comprobar que:
Cuando β > α la intersección es un único punto (el vértice).
Cuando β = α laintersección es una recta generatriz del cono (el plano serátangente al cono).
Cuando β < α la intersección vendrá dada por dos rectas que se cortan en el vértice.
cuando β = 90º El ángulo formado por las rectas irá aumentando a medida β disminuye, hasta alcanzar el máximo (α) cuando el plano contenga al eje del cono (β = 0).

Características

La elipse es el lugar geométrico de los puntos del planotales que la suma de las distancias a dos puntos fijos llamados focos es constante.
Además de los focos F y F´, en una elipse destacan los siguientes elementos:
Centro, O
Eje mayor, AA´
Eje menor, BB´
Distancia focal, OF
La elipse con centro (0, 0) tiene la siguiente expresión algebraica: 
La hipérbola es el lugar geométrico de los puntos del plano cuya diferencia de distancias a dos puntos fijos,llamados focos, es constante y menor que la distancia entre los focos.
Tiene dos asíntotas (rectas cuyas distancias a la curva tienden a cero cuando la curva se aleja hacia el infinito). Las hipérbolas cuyas asíntotas son perpendiculares se llaman hipérbolas equiláteras.
Además de los focos y de las asíntotas, en la hipérbola destacan los siguientes elementos:
Centro, O
Vértices, A y A
Distanciaentre los vértices
Distancia entre los focos
La ecuación de una hipérbola horizontal con centro (0, 0), es:  A su vez, la de una hipérbola vertical es: 
La parábola es el lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de un punto fijo llamado foco, y de una recta llamada directriz.
Además del foco, F, y de la directriz, d, en una parábola destacan los siguientes elementos:
Eje, eVértice, V
Distancia de F a d, p.
Una parábola, cuyo vértice está en el origen y su eje coincide con el de ordenadas, tiene la siguiente ecuación: 

La hipérbola como sección cónica            

La circunferencia, la elipse, la parábola o la hipérbola son curvas planas de todos conocidas.

Estas curvas aparecían ya en la geometría griega y fueron denominadas secciones cónicas, ya que los griegos de laépoca de Platón consideraban que tales curvas procedían de la intersección de un cono con un plano.

La elipse como sección cónica

Cuando los matemáticos de los siglos XVI y XVII estudiaron los trabajos griegos, empezaron a comprobar la falta de generalidad de los métodos de demostración lo que llevo a sustituir la visión puramente geométrica de las secciones cónicas por otra que incorporaba lasnociones de coordenadas y distancia. Esto llevo a la definición de estas curvas como lugares geométricos de puntos que verificaban ciertas propiedades en términos de distancia. (las cónicas como lugares geométricos).

La parábola como sección cónica
     
Finalmente se estableció una teoría algebraica general que engloba todas estas curvas y las describe como curvas cuadráticas. Es esta teoría laque presentamos a continuación.
 
 Curvas cuadráticas
Definición :
Una cónica es el lugar geométrico de los puntos del plano (x,y) que satisfacen una ecuación completa de segundo grado:

La ecuación de una cónica se puede escribir en forma matricial como    

donde

 
Una cónica queda pues definida  por una matriz simétrica 
En lo que sigue denotaremos por Aii  a la matriz adjunta en A del...