Conicas

Páginas: 5 (1185 palabras) Publicado: 30 de junio de 2011
APLICACIONES DE LAS CONICAS

INTRODUCCIÓN

Analizando la Historia de la humanidad principalmente la Historia del pensamiento en la antigua Grecia, se observa cómo los matemáticos y pensadores se han ocupado de analizar las formas óptimas en la geometría y en la naturaleza.

Quizá el descubrimiento más importante relacionado con uno de los grandes problemas de la geometría griega sea el querealizó MENECMO, matemático griego (350 a. de C.), intentando conseguir la duplicación del cubo (problema irracional: construir un cubo de doble volumen que otro dado): LAS CÓNICAS, curvas que se obtienen como secciones por medio de un plano de tres tipos de conos circulares rectos distintos según el ángulo del vértice fuese agudo, recto u obtuso.

MENECMO descubre estas curvas como seccionesde un cono circular recto por un plano perpendicular a una generatriz.


CONO RECTÁNGULO: Giro en torno a un cateto de triángulo rectángulo isósceles


CONO ACUTÁNGULO: Giro en torno al cateto mayor de un triángulo rectángulo


CONO OBTUSÁNGULO: Giro en torno al cateto menor de un triángulo rectángulo.

Las secciones propuestas por Menecmo serían:



Secciones en un conorectángulo PRODUCEN UNA PARÁBOLA



Secciones en un cono acutángulo PRODUCEN UNA ELIPSE




Secciones en un cono obtusángulo PRODUCEN UNA RAMA DE HIPÉRBOLE

Fue APOLONIO de Perga (262-190 a. de C.) el primero en estudiarlas detalladamente y encontrar la propiedad plana que las definía.

APOLONIO, demostró por primera vez:

• Que no es necesario considerar exclusivamentesecciones perpendiculares a una generatriz del cono.
• Que de un cono único pueden obtenerse los tres tipos de secciones cónicas sin más que variar la inclinación del plano que corta al cono.
• Que no es necesario sea el cono recto, es decir que el eje sea perpendicular al plano de la base circular.
• Que puede sustituirse el cono de una hoja por el cono de dos hojas( par de conos orientados ensentido opuesto, con vértices coincidentes y ejes sobre la misma recta. Lo que le lleva a descubrir que la hipérbola ese una cónica con dos ramas.





Para Apolonio: Si una recta de longitud indefinida y que pasa siempre por un punto fijo se hace mover sobre la circunferencia de un círculo que no está en el mismo plano que el punto dado, de tal manera que pasa sucesivamente por todos lospuntos de dicha circunferencia, entonces la recta móvil describirá la superficie de un cono doble recto si la recta el perpendicular al círculo u oblicuo si no lo es.

CÓNICAS

Apolonio, dio el nombre a las curvas obtenidas mediante las secciones:

ELIPSE: Resulta al inclinar el plano, sin llegar a ser paralelo a ninguna de sus generatrices y sin llegar al ángulo que forma la generatrizdel cono.



PARÁBOLA: Resulta al cortar el cono con un plano paralelo a la generatriz del cono




HIPÉRBOLA: Resulta, si el ángulo del plano es todavía mayor.


Apolonio demostró también que las curvas cónicas tienen muchas propiedades interesantes, algunas de las cuales se utilizan actualmente para definirlas. Quizás las más interesantes y útiles que descubrió son lasllamadas propiedades de reflexión de las cónicas:

1ª.- Reflexión de la parábola: Si se recibe luz de una fuente lejana con un espejo parabólico, de manera que los rayos incidentes son paralelos al eje del espejo, entonces la luz reflejada por el espejo se concentra en el foco.


Existe la leyenda que dice: Arquímedes (287-212 a. de C.), ante el asedio de los romanos a la ciudad de Siracusa,utilizó esta propiedad de reflexión parabólica, (ideó un complejo sistema de espejos metálicos colocados en forma de parábola que concentraban los rayos solares sobre la flota romana) para incendiar las naves romanas.

En la actualidad esta propiedad se utiliza para los radares, las antenas de televisión, espejos solares.

2º.- Reflexión de la elipse: Apolonio demostró, que si se coloca...
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