Calculo 2 Ejercicios Resueltos-Funciones Reales

ESTUDIOS PROFESIONALES PARA EJECUTIVOS (E.P.E.) CÁLCULO 2 EJERCICIOS RESUELTOS DE LA UNIDAD 2
TEMA: FUNCIONES REALES DE R2 EN R: DOMINIO-CURVAS DE NIVEL-DERIVADAS PARCIALES 1. Determine el valor deverdad de las siguientes afirmaciones: a. Si z = f ( x; y ) = y 2 e x entonces ∇ f ( x ; y ) = y 2 e x + 2 ye x . Solución. Falso, pues; ∇f ( x; y ) =  

 ∂ y 2e x ∂ y 2e x ; ∂y  ∂x

(

) () = (y e 
 
2

x

;2 ye x .
z = y 2 son elipses. 3

)

b. Las familias de curvas de nivel de la superficie: 2 x 2 + Solución.

Falso, pues; despejando la variable z de la ecuacióntenemos: z = 3 y 2 − 2 x 2 = 3 y 2 − 6 x 2 y haciendo z = k (constante) obtenemos una familia de

(

)

hipérbolas:

y

2

k 3

−

x2 = 1. k 6

c. El gradiente de la función f ( x; y) = ln( xy ) en el punto (-1;-1) es el vector (-1;-1). Solución. Verdadero, pues; De ∇f ( x; y ) =  

 ∂ (ln xy ) ∂ (ln xy )   1 1   =  ;  y evaluando en ( x; y ) = (− 1;−1) , obtenemos ;∂y   x y   ∂x   

 1 1  ∇f (− 1;−1) =  ;  = (− 1;−1) .  −1 −1
2. Determine el dominio de la función f ( x; y ) = ln 9 − x 2 − 9 y 2 en forma analítica y gráficamente. Solución.Analíticamente:

(

)

Domf = ( x; y ) ∈ R 2 / 9 − x 2 − 9 y 2 > 0
Geométricamente: Frontera: 9 − x 2 − 9 y 2 = 0 o

{

}

x2 y2 + = 1 cuya grafica es una elipse. 9 1

Región: veamos si (0;0) ∈Domf .

1

9 − 0 2 − 9 * 0 2 > 0 cumple la desigualdad por tanto la región es el interior de la elipse.

Y

(0;1) (3;0) X

3. Determine el dominio de la función analíticamente ygráficamente:

f ( x, y ) = 4 − x 2 − y 2 + ln ( y − 1) .
Solución. Analíticamente:

Domf = ( x; y ) ∈ R 2 / 4 − x 2 − y 2 ≥ 0 ∧ y − 1 > 0 .
Gráficamente:

{

}

Domf = (x; y ) ∈ R 2 / 4 ≥ x 2 + y 2 ∧y > 1 . y
(0;2)

{

}

y

y

I
(2;0) x

(0;1)

x

x

4. Determine y grafique tres curvas de nivel de la función f ( x, y ) = Solución. Curvas de nivel: k=1:

y2 − x2
k=3...