Calculo De Volumen Ejercicios Resueltos

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UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA DEL CHOCÓ
“DIEGO LUIS CÒRDOBA”
PROG RAMA: Ingeniería Ambiental y Civil
NIVEL: III
PROFESOR: Especialista: Nicolás Ibarguen Arboleda
Agosto DE 2007
guia14
Encontrar el volumen generado por la gráfica

y = x3 – x , el eje x al rotar y = 0
4

y

3

1

2

V = π ∫ [(x 3 - x ) 2 ]dy
-1

1

V = 2π ∫ [x 6 - 2x 4 + x 2 ] dy

1
x

0

V = 2π [
V=1725 13
x - x + x]
7
5
3

−4

−3

−2

−1

1

2

3

4

−1

16
πu 3
105

−2

−3

−4

1. Encuentre el volumen de la región limitada por y = x2, el eje x y la recta x = 5
alrededor del el eje y
V = π a ∫ b { F(x)2 – G(x)2 } Dx
V = π 0 ∫ 5[(25 - √ y/2)2 ] Dy
V = π 0 ∫ 5 [(25 - y/2 ] Dy
V = π [25y - y2/4 ]50 Dy
V = 625 π u3

2. Encuentre el volumen de laregión limitada por f(x) = x2 + 1, alrededor de la recta x = 3

Solución
h = Xi2 + 1
∆Xi = Dx
rm = 3 - x
a) V = 2 π a ∫ b (x) (f(x)) Dx
V = 2 π 0 ∫ 2 (3 - x) (x2 + 1) Dx
V = 2 π a ∫ b (-x3 + 3x2 –x + 3) Dx
V = 2 π [(-x4/4 + x3 –x2/2 + 3x)]2
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5

V = 16 π u3

3. Calcular el volumen del sólido generado al girar, en torno de la recta x = 2, la regiónLimitada por las gráficas de y = x3 + x + 1, y = 1 y x = 1
Solución
V = 2 π a ∫ b p(x)h(x)Dx
V = 2 π 0 ∫ 1 (2 – x ) (x3 + x +1 –1 )Dx
V = 2 π 0 ∫ 1 (-x4 + 2x3 –x2 + 2x ) Dx
V = 2 π [-x5/5 + x4/2 –x3/3 +x2 ]10
V = 2 π (-1/5 + ½ -1/3 +1 )
V = 29 π /15 u3

4. Calcular el volumen del sólido generado al girar la región acotada por las gráficas de
y = x2 +1 , y = 0 , x = 0 , y x = 1 en torno aleje y
Solución
Método de capas
V = 2 π a ∫ b p(x)h(x)Dx
V = 2 π 0∫ 1 x(x2 +1)Dx
V = 2 π [x4/4 + x2/2]1
V = 3 π /2 u3

5. Calcular el volumen de un sólido de revolución engendrado por la región limitada
y = 1/ (x2 + 1)2 y el eje x ( x menor e igual a 1 y x mayor e igual a 0 )
V = 2 π a ∫ b p(x)h(x)Dx
V = 2 π 0∫1 x /(x2 + 1)2 Dx
V = [-π /x2 + 1 ]10
V = π /2 u3http://calculointegral2.iespana.es

6. Calcular el volumen del sólido de revolución que se genera al girar la región limitada por
Y = x – x3 y el eje x ( x menor e igual q 1 y x mayor e igual q 0)

Solución
V = 2 π a ∫ b p(x)h(x) Dx
V = 2 π 0 ∫ 1 x(x – x3) Dx
V = 2 π 0 ∫ 1 (-x4 +x2) Dx
V = 2 π [-x5/5 + x3/3]
V = 4 π /15 u3

7. Encontrar el volumen del sólido de revolución generado al hacer girar sobre el ejex la
Región encerrada en el primer cuadrante por la elipse 4x² + 9y ²=36 y los ejes coordenados.
Solución
Y = ⅔ √(9-x²)
V= 4π/9 0∫³ [(9-x²)] dx
V= 4π/9 [9x - ⅓x3]3
V = 8 π u3

8 Encontrar el volumen del sólido generado al girar sobre el eje y la región limitada por la
curva y = x³, el eje y y la recta y = 3
Solución
V = π 0∫³ [y 2/3] Dy
V = [3/5 y 5/3]3
V = 3.74 u3http://calculointegral2.iespana.es

9. Encontrar el volumen generado al girar sobre el eje x la región encerrada por las
parábolas y = x ² , y ² = 8x
V = π 0∫² [(8x – x4)] dx
V = π [4x2 – 1/5 x5]2
V = 48π / 5 u3

10. Encontrar el volumen generado por las gráficas x = y2 , x = y + 6 haciendo rotar el eje y.
Solución
V = π a ∫ b { F(x)2 – G(x)2 } dx
V = π -2 ∫3 [(y + 6) 2 – (y2) 2 ] dy
V = π -2 ∫3 (y2+ 12y + 36 – y4 ) dy
V = π [ ⅓y3+ 6y2 + 36y – 1/5 y5] -2

3

V = 500 π / 3 u3

11. Encontrar el volumen generado por la gráfica y = x3 – x , el eje x al rotar y = 0
Solución
V = π -1 ∫ 1[(x3 – x )2 ] Dy
V = 2π 0 ∫ 1[x6 – 2x4 + x2 ] Dy
V = 2π [1/7 x7 – 2/5 x5 + 1/3 x3]
V = 16π /105 u3

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12. Calcular el volumen del sólido generado al girar,alrededor de la recta x = 1, la región
Limitada por la curva (x – 1)2 = 20 – 4y y las rectas x = 1, y = 1, y = 3
Solución
V = π 1∫3 [(√ 20 – 4y + 1) – 1]2 dx
V = π 1∫3 [ 20 – 4y ] dx
V = π [ 20y – 2y2 ]31
V = 24π u3

13. Hallar el volumen al girar el área limitada por la parábola y2 = 8x y la
ordenada correspondiente a x = 2 con respecto al eje y
Solución
V = -4 ∫ 4 4 π Dy -

-4 ∫

4...