Calculo 3

NOTAS DE CLASE CÁLCULO III
Doris Hinestroza Diego L. Hoyos

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Índice general
1. Funciones Vectoriales 1.1. El Espacio Rn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2. Funciones Vectoriales . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.1. Operaciones algebraicas. . . . . . . . . . . . . 1.2.2. Límites, derivadas e integrales. . . . . . . . . 1.2.2.1. Teoremas básicos . . . . . . . . . . .1.3. Curvas y Tangentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4. Longitud de arco y reparametrización de una curva. 1.5. Curvatura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.5.1. Triedro de Frenet . . . . . . . . . . . . . . . . 1.5.2. El vector aceleración. . . . . . . . . . . . . . 1.5.3. *Ecuaciones de Frenet para una curva plana. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 5 7 8 9 10 12 14 17 19 20 21 24 24 31 31 34 34 35 38 39 44 46 48 51 53 55 65 65

2. Campos Escalares en R2 y R3 2.1. Gráfica de z = f (x, y). Curvas y superficies de nivel. . . . . . . 2.1.1. Superficies cuádricas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2. Límites y Continuidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 2.3. Funciones Diferenciables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3.1. Derivadas parciales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3.2. Superficies parametrizadas . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3.3. El plano tangente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3.4. El concepto de diferenciabilidad . . . . . . . . . . . . . . 2.4. La Regla de la Cadena . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . 2.4.1. El vector gradiente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.5. Derivadas Direccionales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.6. Máximos y Mínimos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.6.1. Criterio para determinar extremos de funciones de dos variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.6.2. Extremos condicionados. . . . .. . . . . . . . . . . . . 2.7. *Temas de Lectura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.7.1. Campos Escalares y Campos Vectoriales . . . . . . . . . 2

2.7.2. Derivada en una dirección de un campo escalar en Rn . Derivadas direccionales y parciales. . . . . . . . . . . . . 2.7.3. Diferenciabilidad de un campo escalar en Rn . . . . . . . 2.7.4. Regla de la cadena para camposescalares en Rn . . . . . 2.7.5. Derivada en una dirección de un campo vectorial. Derivada direccional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.7.6. Diferenciabilidad de un campo vectorial . . . . . . . . . 2.7.7. Regla de la cadena para campos vectoriales. . . . . . . . 2.7.8. Fórmula de Taylor de orden dos para campos escalares . 2.7.9. Naturaleza de un punto crítico teniendo como criteriolos valores propios de la matriz Hessiana . . . . . . . . . . . 2.7.10. Criterio para determinar extremos de funciones de dos variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.7.11. Ley de la conservación de la energía. Campos conservativos 3. Integrales Múltiples 3.1. Integrales Dobles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1.1. Propiedades de la Integral doble . . . . . . .. . 3.1.2. Integración en regiones más generales . . . . . . 3.1.3. Cálculo de integrales dobles: áreas y volúmenes. . 3.1.4. Cambio de variable . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1.4.1. La fórmula del cambio de variable . . . 3.2. Integrales Triples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2.1. Regiones más generales . . . . . . . . . . . . . . 3.2.2. Cambio de variable en integrales triples.. . . . . 3.2.2.1. Coordenadas cilíndricas. . . . . . . . . . 3.2.2.2. Coordenadas esféricas. . . . . . . . . . . 3.3. Aplicaciones de las integrales múltiples. . . . . . . . . . 3.3.1. Momentos y centros de masa. . . . . . . . . . . . 3.3.2. Densidad y masa. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3.3. Momento de Inercia. . . . . . . . . . . . . . . . 3.3.4. Probabilidad. . . . . . . . . . . . ....