calculo 3

UNIVERSIDAD DEL ZULIA
FACULTAD DE INGENIERIA
DEPARTAMENTO DE MATEMATICAS
CATEDRA: CALCULO III

Profesora Mercedes Becerra

Maracaibo febrero 2014

Las integrales múltiples, o sea, las integrales de funciones de dos o tres variables se aplican para
el cálculo de área, volumen, masa y área de superficie en una variedad de situaciones mayor de las que
puede manejarse con la integralsimple.
Recordemos las integrales definidas para funciones de una variable.

INTEGRALES DOBLES.
El tipo más simple de integrales múltiples es la integral doble

 f ( x, y)dA
R

de una función continua

f ( x, y) sobre un rectángulo cerrado



R  a, bxc, d  , es decir,



R  x, y   R 2 / a  x  b, c  y  d en el plano xy .
Sea f definida en una región cerrada yacotada R . Por medio de una red de rectas verticales y
horizontales paralelas a los ejes de coordenados, se forma así, una partición P de R en subregiones
rectangulares Rk , ( k = 1,2,3,…..,n), de áreas Ak contenidas totalmente en R .
Sea P la norma de la partición, o sea la longitud de la diagonal mayor de las Rk . Luego en



Rk elegimos un punto de muestra xk , y k

 f x
k 1

k

en cada subregión y formamos la Suma de Riemann



, y k Ak que corresponde (si f ( x, y)  0 ), a la suma de los volúmenes de n cajas. Al hacer la

partición cada vez más pequeña, de modo que todos los Rk sean más pequeños, tendremos el volumen

V del sólido que se encuentra debajo de la superficie z  f ( x, y) y por encima de la región.
Esperamos determinar el volumen exacto Vconsiderando el límite de la suma de Riemann

 f x
k 1

k



, y k Ak , cuando la norma P de la partición P tiende a cero. Por tanto, definimos la integral

doble de la función f sobre el rectángulo R como:

 f ( x, y)dA
R

= lím

P 0

 f x
k 1

Cuando f ( x, y) = 1 en R , entonces, lím

P 0

k



, y k Ak , si existe.

 A
k 1

k

dará simplementeel área A de la región: esto

es,

A   dA
R

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PROPIEDADES DE LA INTEGRAL DOBLE.
1.- La integral doble es lineal; es decir,
a.

 kf ( x, y)dA = k  f ( x, y)dA ;
R

b.

R

  f ( x, y)  g ( x, y)dA =  f ( x, y)dA
R



R

 g ( x, y)dA
R

2.- La integral doble es aditiva en rectángulos

 f ( x, y)dA =  f ( x, y)dA +  f ( x, y)dA , donde R
R1R

es la unión de dos subregiones R1 y R2

R2

que no se sobreponen.
3.- Se cumple la propiedad de comparación. Si

 f ( x, y)dA
R

4.-

 f ( x, y)dA  0

para todo ( x, y) en R ,

 g ( x, y)dA
R

si f ( x, y)  0

R

INTEGRALES ITERADAS.
TEOREMA DE FUBINI
Suponga que f ( x, y) es continua en un rectángulo R  a, bxc, d  .
Entonces


R

b d
d b



f ( x, y )dA =    f ( x, y )dy dx     f ( x, y )dx dy




ac
ca



Significado de los paréntesis en la integral iterada.
Si


R

d

   f ( x, y)dy dx , primero mantenemos x constante e integramos con


ac

b

f ( x, y )dA =

respecto de y , de y  c a y  d . El resultado de esta primera integración es la integral parcial de
d

fcon respecto de y , que se denota con

 f ( x, y)dy , y es una función solo de

x . Entonces integramos

c

esta última función con respecto de x , de x  a a x  b .
De manera análoga, se calcula la integral iterada

3


R

d b


f ( x, y )dA =    f ( x, y )dx dy .


ca


Este teorema nos indica como calcular una integral doble por medio de dos integracionessucesivas (o iteradas) de una sola variable, las cuales se pueden calcular aplicando el teorema
fundamental del cálculo.
INTEGRABILIDAD. Se dice que f es integrable en R, si existe el límite. Si f es continua en R,
entonces f es necesariamente integrable en R.
EJERCICIOS PROPUESTOS.
Evalué las siguientes integrales, use integrales iteradas:
a.b.c.d.e.f.-

en el rectángulo
en el...