Calculo de variaciones

CÁLCULO DE VARIACIONES

Uno de los problemas característicos a los que dan solución las técnicas propias del cálculo de variaciones es el de hallar la curva que hace extremal una integralcurvilínea dada.

En esta monografía vamos a considerar el problema en forma unidimensional, es decir, determinaremos la curva y = f(x) entre los valores x1 y x2 tal que la integral curvilínea de ciertafunción f(y , , x), donde = dy/dx, sea extremal, es decir, que la integral:



Ha de ser máxima o mínima. En este caso la variable x desempeña el papel del parámetro t.

Vamos a plantear elproblema de forma que nos permita emplear los métodos ordinarios del cálculo diferencial para obtener valores extremos. Para ello, hacemos corresponder a cada una de las posibles curvas y(x) un valordiferente de determinado parámetro , de modo que para ciertos valores de  la curva coincida con la trayectoria o trayectorias que extreman la integral. Por lo tanto, y será función de x y . De ese modo,si representamos la función y(x , a) por:



Donde es una función cualquiera de x que se anula para x = x1 y x = x2. También la integral J de (1) será función de :



La condición paraobtener un máximo o un mínimo de J como función de  será la misma que se necesita en el cálculo diferencial, es decir:



Derivando (3) bajo el signo integral, tenemos:



Si tomamos lasegunda de las integrales podemos hacer:



E integrando por partes, tenemos:



Puesto que partimos de la expresión:



Donde se considera d/dx por ser f función sólo de x.

Todas lascurvas que estamos considerando han de cumplir la condición de pasar por los puntos (x1, y1) y (x2, y2) y, por tanto, se anulará en x1 y x2. Por ello se hace cero el primer término de (5) y la derivadaparcial de J respecto  se puede poner:



Multiplicando todos los términos por d y singularizando para a = 0, resulta:



Si ponemos ahora:



Donde son, respectivamente, la...