Calculo diferencial desigualdades de intervalos

TEMA 3. Funciones. C´lculo diferencial
a

En este tema vamos a hacer un estudio preliminar de las funciones de una variable
real y el importante concepto de derivada. Comenzaremos recordando las funciones
b´sicas, para luego introducir la derivada y considerar algunas de sus aplicaciones.
a
´
3.1. Concepto de funcion
Decimos que hay una correspondencia entre dos conjuntos cuando existenunas
determinadas reglas que permiten asociar elementos del primer conjunto (conjunto
inicial) con elementos del segundo conjunto (conjunto final).
Una aplicaci´n es una correspondencia que asigna a cada elemento del conjunto
o
inicial un unico elemento del conjunto final.
´
Cuando los conjuntos inicial y final son subconjuntos de R, hablamos de funciones reales de variable real. Por tanto unafunci´n de variable real f (x) es una
o
aplicaci´n f : D → R, de tal forma que a cada elemento x ∈ D le hacemos correso
ponder un unico n´ mero real f (x). Al conjunto D, un subconjunto de los n´ meros
´
u
u
reales, se le llama dominio de la funci´n y se suele denotar por Dom(f ). Se llao
ma imagen o recorrido de la funci´n al conjunto de todos los valores que toma
o
la funci´n, esdecir Im(f ) = {f (x) : x ∈ D}. El conjunto de puntos del plano
o
G = {(x, f (x)) : x ∈ D} se llama gr´fica de la funci´n.
a
o

y = f (x)
y

(x, f (x))

x
Dada una funci´n f (x) es siempre importante saber determinar su dominio, es
o
decir, el conjunto de puntos para los que tiene sentido.

1

2
3.2. Propiedades de las funciones
Las funciones de variable real con las que solemostrabajar disfrutan de diversas
propiedades. A continuaci´n veremos algunas de las b´sicas.
o
a
Acotaci´n. Una funci´n f est´ acotada superiormente si sus im´genes no superan
o
o
a
a
cierto valor, esto es, cuando existe M ∈ R tal que f (x) ≤ M, para cualquier x del
dominio de f . Se dice que M es una cota superior.
De la misma forma, la funci´n f est´ acotada inferiormente si sus im´geneso
a
a
superan siempre un cierto n´ mero, es decir, si existe m ∈ R de tal forma que
u
f (x) ≥ m, para todo x en el dominio de f .
Decimos que una funci´n f est´ acotada si lo est´ superior e inferiormente. Esto
o
a
a
equivale a que existe M ≥ 0 de tal forma que |f (x)| ≤ M, para todo x del dominio
de la funci´n.
o
Ejemplos. La funci´n f (x) = x2 − 1 s´lo est´ acotada inferiormente (f(x) ≥ −1)
o
o
a
2
mientras que la funci´n g(x) = 1 − x lo est´ s´lo superiormente (g(x) ≤ 1). La
o
a o
1
funci´n h(x) =
o
est´ acotada (|h(x)| ≤ 1)y la funci´n l(x) = x no est´ acotada
a
o
a
1 + x2
ni superior ni inferiormente.
2

2

y=1-x

y=x -1
1

-1

-1

1

1

-1

2

y=1/(1+x )

y=x

1

Periodicidad. Una funci´n es peri´dica de periodo T (T = 0)cuando para todo
o
o
x del dominio, se tiene que x + T est´ en el dominio y f (x + T ) = f (x). Se llama
a
periodo fundamental de f al periodo m´s peque˜ o de f .
a
n
Ejemplo La funci´n f (x) = sen x es una funci´n peri´dica de periodo fundamental
o
o
o
2π.

3

1

- 2p

- 3p
2

-p
2

-p

p
2

p

3p
2

2p

-1

Simetr´
ıas. Se dice que una funci´n f es parcuando, para cada x de su dominio,
o
−x es tambi´n del dominio y se satisface f (−x) = f (x). En este caso, la gr´fica de
e
a
la funci´n es sim´trica respecto al eje de ordenadas.
o
e
Decimos que una funci´n f es impar cuando, para cada x de su dominio, −x
o
pertenece tambi´n al dominio y se verifica f (−x) = −f (x). En este caso, la gr´fica
e
a
de la funci´n es sim´trica respecto del origende coordenadas.
o
e
Ejemplos

Función impar

Función par
f(x
)

f(x
)
-4

-x

x

-x

-1
1
-f(x
)

x

4

Algunas de las funciones con las que trabajaremo usualmente son pares o impares,
pero tambi´n existen muchas funciones que no son ni pares ni impares, como f (x) =
e
2
x + x.
Crecimiento y decrecimiento. Supongamos que f es una funci´n real de variable
o...