Calculo diferencial

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Método de Newton
En análisis numérico, el método de Newton (conocido también como el método deNewton-Raphson o el método de Newton-Fourier) es un algoritmo eficiente para encontrar aproximaciones de los ceros o raíces de una función real. También puede ser usado para encontrar el máximo o mínimo de una función, encontrando los ceros de suprimera derivada.
El método de Newton-Raphson es un método abierto, en el sentido de que su convergencia global no está garantizada. La única manera de alcanzar la convergencia es seleccionar un valor inicial lo suficientemente cercano a la raíz buscada. Así, se ha de comenzar la iteración con un valor razonablemente cercano al cero (denominado punto de arranque o valor supuesto). La relativa cercaníadel punto inicial a la raíz depende mucho de la naturaleza de la propia función; si ésta presenta múltiples puntos de inflexión o pendientes grandes en el entorno de la raíz, entonces las probabilidades de que el algoritmo diverja aumentan, lo cual exige seleccionar un valor supuesto cercano a la raíz. Una vez se ha hecho esto, el método linealiza la función por la recta tangente en ese valorsupuesto. 

Método de Newton (para cálculo de raices)
El llamado MÉTODO DE NEWTON es un procedimiento iterativo para calcular valores
aproximados de una raiz o un cero de la ecuación f (x) = 0, partiendo de un punto
conocido y cercano a la raiz buscada.
MÉTODO DE NEWTON
Sea r una raiz de f (x) = 0 situada en el intervalo (a, b) y supóngase que f ’(x)
existe en (a, b).La recta tangente a la curva en el punto P(a, f(a)) de abscisa a (valor
que se toma como la aproximación inicial de r) viene dada por:
y − f (a ) = f ' (a )( x − a ) (1) (punto – pendiente) fig. 4.28
Para determinar el punto de intersección de esta recta con el eje x, que se llamará a1 y
que se considera como la siguiente aproximación der, se hace y = 0 en (1), de lo cual
se obtiene:

( ) '
( )
1
f a
f a
a = a − ; f ' (a ) ≠ 0
En muchas ocasiones a1 es una aproximación a r mejor que a; en tales casos se
repite de nuevo el procedimiento reemplazando el punto a por a1. La recta tangente a
la curva en el punto P1(a1, f(a1)) y dependiente f ' (a1
) viene dada por:
y − f a( )1
= f ' (a1
)(x − a1
) (2)
El intercepto de esta recta con el eje x, que se llamará a2 y que se considera la
siguiente aproximación de r, se obtiene al hacer y = 0 en la ecuación (2), y asi se
obtiene:


( ) '
( )1
1
2 1
f a
f a
a = a − ; f ' (a1
) ≠ 0

El procedimiento se continua de esta manera utilizando la siguiente fórmula de recurrencia:


( ) '
( )
1
n
n
n n
f a
f a
a +
= a − ; f ' (a n
) ≠ 0

Son muchos los casos en los cuales la fórmula anteriorproporciona una sucesión de valores
an que progresivamente se van acercando a la raiz exacta

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Teorema de Rolle
El teorema de Rolle dice lo siguiente:
Si:
*  es una función continua definida en un intervalo cerrado 
*  es derivable sobre el intervalo abierto 
*

Entonces: existe al menos un número  perteneciente al intervalo  talque .

En palabras más sencillas, si una curva regular sale y llega a la misma altura, en algún punto tendrá tangente horizontal.
En la figura se ven tres casos distintos. Si la función empieza subiendo, tendrá luego que bajar para reencontrar su valor inicial, entre la subida y la bajada, hay un punto donde la función alcanza un máximo, y en éste, f ' se anula. Lo mismo sucede si la función...