Calculo diferencial

Integrales

1.

Teorema del valor medio

Seg´n se ha visto en el tema de derivadas, si f y g son funciones continuas en el intervalo cerrado [a, b] u y derivables en el intervalo abierto (a, b), existe un punto ξ de (a, b) en el que se cumple que: [f (b) − f (a)] g (ξ) = [g(b) − g(a)] f (ξ) Si tomamos como funci´n g, g(x) = x que es continua y derivable para todo x resulta: o [f (b) − f(a)] · 1 = (b − a)f (ξ) =⇒ f (b) = f (a) + f (ξ)(b − a)

Se cumple por tanto el siguiente teorema: Teorema (Teorema del valor medio). Si f es una funci´n continua en [a, b] y derivable en (a, b) existe o un punto ξ ∈ (a, b) tal que: f (b) = f (a) + f (ξ)(b − a) Geom´tricamente, el teorema del valor medio significa que existe un punto interior al intervalo en el que e la tangente es paralela alsegmento que une los puntos de la curva y = f (x) de abscisas a y b (ver figura1).

Figura 1: Teorema del valor medio Como consecuencia del teorema del valor medio, las funciones derivables cumplen que: 1. Si una funci´n tiene derivada cero en el intervalo (a, b) es constante en ese intervalo: o En efecto sean x1 y x2 puntos de (a, b). Por el teorema anterior: f (x2 ) = f (x1 ) + f (ξ)(x2 − x1 ); ξ ∈(x1 , x2 )

y puesto que la derivada es cero en el intervalo, f (ξ) = 0 =⇒ f (x2 ) = f (x1 ) =⇒ 1 f constante

2 INTEGRAL INDEFINIDA

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2. Si dos funciones tienen la misma derivada su diferencia es constante. En efecto sean las funciones f y g y sea F (x) = f (x) − g(x). Por la propiedad anterior: f (x) = g (x) =⇒ F (x) = f (x) − g (x) = 0 =⇒ F (x) = f (x) − g(x) = constante

2.Integral indefinida
⇐⇒

Definici´n. Se llama primitiva de una funci´n f a otra funci´n F cuya derivada es f : o o o F (x) primitiva de f (x) F (x) = f (x)

Si F (x) es una primitiva de f (x) tambi´n lo es F (x) + C donde C es una constante cualquiera. Por otra e parte, si F (x) y G(x) son primitivas de la misma funci´n, tienen la misma derivada y, de acuerdo con o el teorema del valor mediodifieren en una constante. Llegamos entonces a la siguiente conclusi´n, una o funci´n puede tener infinitas primitivas que son iguales a una cualquiera de ellas m´s una constante. o a Definici´n. El conjunto de todas las primitivas de una funci´n f (x) se llama integral indefinida de f y o o se representa por ∫ f (x) dx Si F (x) es una primitiva cualquiera de f (x) entonces ∫ f (x) dx = F (x) + C donde C esuna constante arbitraria. ∫ En otras palabras, f (x) dx es el conjunto de todas las funciones que derivadas dan f (x) o el conjunto de todas las funciones que diferenciada dan f (x) dx. As´ definida, la integral tiene las siguientes propiedades: ı 1. La integral de una suma o diferencia de funciones es la suma o diferencia de las integrales: ∫ ∫ ∫ f (x) + g(x) dx = f (x) dx + f (x) dx 2. La integraldel producto de una constante por una funci´n es igual a la constante por la integral de o la funci´n: o ∫ ∫ K f (x) dx = K f (x) dx Es decir, es indiferente poner las constantes multiplicativas dentro o fuera del signo integral. 3. Los signos integral y diferencial seguidos se anulan: ∫ du = u + C ∫ d u dx = u dx 4. No existe una regla para integrar el producto de dos funciones. Sin embargo, dela regla de derivaci´n o del producto: d(uv) = u dv + v du ⇐⇒ u dv = d(uv) − v du

se deduce la siguiente regla de integraci´n: o ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ u dv = d(uv) − v du =⇒ u dv = uv − v du que se llama regla de integraci´n por partes. o

3 INTEGRALES INMEDIATAS

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3.

Integrales inmediatas

De las reglas de derivaci´n se deducen las siguientes reglas de integraci´n: o o Funciones potenciales:∫ xn+1 +C xn dx = n+1 Funciones trigonom´tricas: e ∫ sen x dx = − cos x + C; ∫ 1 √ dx = arsen x + C; 1 − x2

∫ (n = −1);

1 dx = ln |x| + C x ∫

∫ cos x dx = sen x + C; ∫

tg x dx = − ln | cos x| + C ∫ 1 1 x dx = artg + C k 2 + x2 k k

1 dx = artg x + C; 1 + x2 ∫

Funciones exponenciales y logar´ ıtmicas: ∫ ∫ ax ex dx = ex + C; ax dx = + C; ln a

ln x dx = x ln x − x + C...