calculo diferencial

9

Nombres reals

1a part: Calcul diferencial d'una variable
Cap tol 1 Nombres reals
Al llarg del cap tol, i de fet al llarg de tot el llibre, farem us dels diferents tipus de
demostracio, amb els quals suposem que l'alumne esta familiaritzat 1 en particular, en
aquest cap tol es fa especial emfasi en el principi d'induccio matematica i en les demostracions per reduccio a l'absurd.
1.Proveu que

13 + 23 + : : : + n3 = (1 + 2 + : : : + n)2

Solucio:

Com que volem provar una proposicio que depen de n aplicarem el principi d'induccio
matematica que estableix que: si p(n) es una proposicio que depen del nombre natural
n tal que
1) Per a k = 1 p(1) es certa.
2) Per a tot k : p(k) certa es te p(k + 1) certa.
Llavors p(n) es certa per a tot n .
De vegades, per demostrarque la proposicio p(k + 1) es certa necessitem suposar que
ho son p(1),..., p(k). En aquest cas farem us de la hipotesi d'induccio completa que
s'estableix de la forma seguent:
1) Per a k = 1 p(1) es certa:
2) Per a tot k : p(1) : : : p(k) certa

es te p(k + 1) certa:

llavors p(n) es certa per a tot n . Encara que aquest principi sembli mes fort que
l'anterior, de fet n'es unaconsequencia.
1

Vegeu Temes clau d'algebra per als tipus de demostracio.

© Els autors, 2000; © Edicions UPC, 2000.

10

Calcul diferencial d'una i diverses variables. Problemes resolts

Comencem, doncs, provant que la relacio es certa per a n = 1
13 = 1

12 = 1

Suposem ara (hipotesi d'induccio) que ho es per a n = k , es a dir, que
13 + 23 + : : : + k3 = (1 + 2 + : : : + k)2
es certa.Vegem-ho per a n = k + 1:
(1 + : : : + k + (k + 1))2 = (1 + : : : + k)2 + (k + 1)2 + 2(1 + : : : + k)(k + 1)
tenint en compte que (1 + : : : + k) (a) (1 + k)k
= 2
tenim
(1 + : : : + k + (k + 1))2 = (1 + : : : + k)2 + (k + 1)2 + (k + 1)2 k =
= (1 + : : : + k)2 + (k + 1)2 (1 + k) = (1 + : : : + k)2 + (k + 1)3
(a) Suma dels k -primers termes d'una progressio aritmetica de rao 1.

Ara be:13 + 23 + : : : + k3 + (k + 1)3 = (1 + 2 + : : : + k)2 + (k + 1)3
(b)

(b) hipotesi d'induccio.

d'on el resultat.

p

Sabent que 2 es un nombre irracional, proveu que entre dos nombres racionals
diferents qualssevol n'hi ha sempre un d'irracional.

2.

Solucio:

Adoptarem un metode constructiu per provar l'a rmacio, es a dir, construirem un
nombre irracional que ha d'estar entredos nombres racionals xats.
Siguin a b 2 Q amb a 6= b xos hem de trobar un x 2 R ; Q tal que a < x < b .

© Els autors, 2000; © Edicions UPC, 2000.

11

Nombres reals

Si aquest x existeix haura de ser x = a + y amb y > 0 irracional (recordeu que Q es
cos) i per tant y < b ; a , es a dir,

y = (b ; a) z
amb z irracional i 0 < z < 1.

p

Necessitem, doncs, trobar un z irracionalamb 0 < z < 1. Sigui z = 2 : es irracional
2
1 i un irracional p2) i es te 0 < z < 1.
(ja que es producte d'un racional
2
Per tant, l'irracional buscat es

p

x = a + (b ; a) z = a + (b ; a) 22

3.

1
a) Demostreu que, donat x 2 R amb 0 < x , existeix n0 2 N tal que n < x .
0

b) Dedu u que si x 2 R es tal que 0 x

1 per a tot n 2 N , llavors x = 0.

n

Solucio:

a) Sabemque R es un cos arquimedia, es a dir:
Donats x y 2 R amb 0 < x y , existeix n0 2 N tal que

y < n0 x
apliquem aquesta de nicio al cas particular en que y = 1 i tenim:
Donat x 2 R , existeix un n0 2 N tal que
1 < n0 x
Ara be, si tenim en compte que:
Donats x y z 2 R amb x y i z > 0, llavors

xz yz

© Els autors, 2000; © Edicions UPC, 2000.

(1)

12

Calcul diferencial d'una idiverses variables. Problemes resolts

1
i multipliquem la relacio (1) per n > 0 i tenim el resultat demanat:
0

1
= 3>
2= )
>
sin 2 = 1 >
2
) z2 = 2e

cos

2

2

=6

6

2.

Calculeu

p
5

p

1 ; i 3.

Solucio:

Recordem que, donat z = r(cos ! + i sin ! ), les arrels enesimes de z venen donades
per
p
n r(cos
k = 0 1 ::: n; 1
k + i sin k )
amb = ! + 2k .
k...