Calculo Diferencial

INDICE
PAG.

1) CONCEPTO DE DIFERENCIAL Y DE ANTIDERIVADA 2
2) FORMULAS DE DIFERENCIALES 3
3) EJEMPLOS DE DIFERENCIALES 3
4) APLICACIONES DE LAS DIFERENCIALES 5
5) SOLUCION DE ECUACIONES EMPLEANDO EL MÉTODO DE NEWTON 8
6) ANTIDERIVADA 9
7) CONSTANTE DE INTEGRACION 10
8) FORMULAS DE INTEGRACION 12
9) EJEMPLOS DE APLICACIÓN DE LAS FORMULAS DEINTEGRACION 13
10) INTEGRACION POR CAMBIO DE VARIABLE 58
11) INTEGRACION POR PARTES 58
12) INTEGRACION POR SUSTITUCION TRIGONOMETRICA 64
13) SUSTUITUCIONES CON x=Tanz2 88
14) INTEGRALES DE FUNCIONES TRIGONOMETRICAS ELEVADAS A UN EXPONENTE 90
15) EJEMPLOS DE INTEGRALES TRIGONOMETRICAS ELEVADAS A UN EXPONENTE
16) INTEGRACION POR FRACCIONES PARCIALES 109
17) CASO I: FACTORESLINEALES DIFERENTES 109
18) CASO II FACTORES LINEALES REPETIDOS 118
19) CASO III FACTORES CUADRATICOS SIMPLES 119
20) CASO IV FACTORES CUADRATICOS REPETIDOS 120
21) AREA BAJO UNA CURVA 127
22) AREA ENTRE DOS CURVAS 132
23) VOLUMEN DE SOLIDOS DE REVOLUCION 147

UNIDAD DIDÁCTICA: No. 1 INTEGRAL INDEFINIDA

COMPETENCIA PARTICULAR 1: Resuelve integrales indefinidas,mediante el concepto de la antiderivada y transformaciones algebraicas (cambio de variable, potencias trigonométricas,…), en su entorno académico.

RESULTADO DE APRENDIZAJE PROPUESTO RAP 1. Obtiene la antiderivada de funciones con una variable real, en su entorno académico.

CONCEPTO DE DIFERENCIAL Y DE ANTIDERIVADA
La diferencial está ligada a la derivada y se define de la siguientemanera:
De la notación de la derivada
dydx=f`(x)
La expresión dydx en la derivada se toma como una sola expresión y no como un cociente donde “dy” seria el numerador y “dx” el denominador. En el cálculo integral se toman estas dos expresiones por separado.

La diferencial se define como:
Si f`(x) es la derivada de de la función f(x) en un valor de “x” particular y ∆x es el incremento de “x”la diferencial de f(x) se representa con el símbolo df(x) se define como:
dfx=f`x∆x=dydx∆x=dydxdx
De la ecuación anterior definimos a la diferencial de una función como el producto de la derivada por la diferencial de la variable independiente

Interpretación geométrica de la diferencial

Grafica de la curva y=f(x)

Sea:
f`(x) = a el valor de la derivada en el punto “P”.
PQ=dx Es ladiferencial de “x” dy=f`xdx=tanr(PQ)
Luego dy, es el incremento de la ordenada de la tangente, correspondiente a “dx”
La diferencial de una función está ligada a la derivada de dicha función.


FORMULAS DE DIFERENCIALES
1)dc=0
2)dx=dx→ds=ds→dr=dr
3)dcu=cdudx
4) du+v+w=dw+dv+dudx
5)duv=udv+vdudx
6)duvdx=vdu-udvv2dx
7)dun=nun-1dudx
8)du=du2udx
9)dcu=-cduu2dx
10)duc=ducdx11)dSen(u)=Cos(u) du dx
12)dCos(u)=-Sen(u) du dx
13)dTan(u)=Sec2(u)du dx
14)dSec(u)=Sec(u)Tan(u) du dx
15)dCsc(u)=-Csc(u)Cot(u) du dx
16)dCtg(u)=-Csc2(u)du dx
17)dArcSen(u)=du1-u2dx
18)dArcSen(u)=-du1-u2dx
19)dArcTan(u)=du1+u2dx
20)dArcCtg(u)=-du1+u2dx
21)dSec(u)=duuu2-1
22)dSec(u)=-duuu2-1
23)dln(u)=duudx
24)dlog(u)=log⁡(e)duudx
25)dau=auln⁡(a)dudxln
26)deu=eududx27)duv=vuv-1du+ln⁡(u)uvdvdx

EJEMPLOS DE DIFERENCIALES

Obtener la diferencial de las siguientes funciones:
1)y=3x3+12x2-8x
Solución
dy=9x2+24x-8dx

2) y=3x2-4x2x-4
Solución

dy=2x-4d3x2-4x-3x2-4xd2x-42x-42

=2x-4d6x-4-3x2-4xd22x-42

=12x2-8x-24x+16-6x2+8x2x-42

=6x2-24x+162x-42dx

3) y=3x2-2x

Solución
dy=d3x2-2x23x2-2x=6x-223x2-2x=3x-13x2-2xdx

4) y=Sen(4x2+9x)

Solucióndy=dSen4x2+9x=Cos4x2+9xd4x2+9x

dy=Cos4x2+9x8x+9dx

5) y=Tan2x-3x+1

Solución
dy=dTan2x-3x+1=Sec22x-3x+1d2x-3x+1

dy=Sec22x-3x+1x+1d2x-3-2x-3d(x+1)x+12

6) y=3Sen(x3-5x2+6x=Sen(x3-5x2+6x)13

dy=dSen(x3-5x2+6x)13=13Sen(x3-5x2+6x- 23dSenx3-5x2+6x

dy=13Sen(x3-5x2+6x- 23Cosx3-5x2+6xdx3-5x2+6x=

dy=13Sen(x3-5x2+6x- 23Cosx3-5x2+6x3x2-10x+6

7) y=arcSenx3-x2+3x-4...