calculo diferencial

Prof. Susana López

1
Universidad Autónoma de Madrid

Tema 3: Cálculo diferencial
1

Cálculo diferencial de funciones de una variable Real

Cuando estudiamos función del tipo y = f (x), nos gustaría saber cómo varía la variable
dependiente y cuando varía la variable x. Esto es equivalente a estudiar la inclinación de la
gráfica de la función en un punto determinado. Sabemos que cuandotenemos la ecuación de
una recta y = ax + b, el número a no sólo nos indica la pendiente de la recta, es decir, el grado
de inclinación de la misma, sino que también nos indica cuánto varía la variable y cuando varía
la variable x una unidad. Cuanto mayor sea a mayor será la variación de la variable y y cuanto
menor sea a más insensible será la variable y ante cambio en la variable x.
Pero,¿cómo medir la inclinación de la gráfica de una función cualquiera en un punto determinado? Una respuesta a esta pregunta es definir la inclinación de una curva en un punto
como la pendiente de la tangente a la curva en ese punto.
125
100
75
50
25

1

2

3

4

5

-25
-50

Recta tangente en x = 3
¿Cómo calcular la pendiente de la recta tangente a la curva en un punto x0 ? Comose puede
observar en el dibujo la recta tangente no es más que el límite de rectas secantes que pasan por
el punto (x0 , f (x0 )) .
6

4

2

-3

-2

-1 0

1

x

2

3

-2

Recta tangente como límite de rectas secantes

Prof. Susana López

2

Consideremos el siguiente gráfico:

6

4

2

-3

-2

-1 0

1

x

2

3

-2

Recta tangente como límitede rectas secantes
Vamos a calcular cual es la pendiente de la recta tangente a la curva en el punto (x0 , f (x0 )) .
Para ello consideramos la recta secante que pasa por los puntos (x0 , f (x0 )) y (x0 + h, f (x0 + h)) .
La pendiente de la recta secante no es más que:
f (x0 + h) − f (x0 )
f (x0 + h) − f (x0 )
=
x0 + h − x0
h
La pendiente de la recta tangente será el límite del cocienteanterior cuando h se hace cada
vez más pequeño, y si ese límite existe lo definiremos como derivada de f en el punto x0 y lo
denotaremos por f 0 (x0 ) , también diremos que f es diferenciable en x0 ,
f (x0 + h) − f (x0 )
h→0
h

f 0 (x0 ) = lim

Si f es diferenciable en todos los puntos de su dominio diremos entonces que la función es
diferenciable.
La recta tangente que pasa por el punto(x0 , f (x0 )) tiene por ecuación:
y = f (x0 ) + f 0 (x0 ) (x − x0 )

Prof. Susana López

1.1

3

Tasas de variación y su significado económico

Supongamos que los rendimientos de dos activos X e Y están relacionados por la siguiente
función y = f (x), es decir, cuando el activo X ofrece un rendimiento de a unidades el activo
Y ofrece un rendimiento de f (a) unidades. Si elrendimiento del activo X se incrementa en
h unidades el incremento o decremento en el rendimiento del activo Y será f (a + h). La
variación del rendimiento del activo Y con relación a la variación del rendimiento del activo X
se denomina tasa de variación media de f en el intervalo [a, a + h] y es igual a:
f (a + h) − f (a)
= tasa de variación media
h
Si hacemos que el incremento de variación, h,sea cada vez menor de tal modo que llegue a
ser cero lo que obtendremos será la tasa de variación instantánea:
f (a + h) − f (a)
= tasa de variación instantánea
h→0
h

f 0 (a) = lim

1.2

Reglas de derivación

Si f y g son dos funciones diferenciables entonces también lo será F (x) = f (x) + g (x) y
G (x) = f (x) − g (x) :
F 0 (x) = f 0 (x) + g0 (x)
G0 (x) = f 0 (x) − g 0 (x)
Si f yg son dos funciones diferenciables y g (x) 6= 0 para todo x ∈ Dom (g) entonces
(x)
también son diferenciables:
H (x) = f (x) · g (x) y P (x) = fg(x)
H 0 (x) = f 0 (x) · g (x) + f (x) · g 0 (x)
f 0 (x) · g (x) − f (x) · g 0 (x)
P 0 (x) =
[g (x)]2
Regla de la cadena Si f y g son dos funciones diferenciables entonces también lo será
F (x) = (f ◦ g) (x) :
F 0 (x) = f 0 (g (x)) · g 0 (x)...