Calculo integral

Cap´ ıtulo 6 Aplicaciones de la integral
6.1.
Y

C´lculo de ´reas de figuras planas. a a
Hemos visto en el tema anterior que, si f es no negativa en el intervalo
b

y = f(x)

[a, b],
a

f (x)dx representa el ´rea baa

X O a b
b

jo la curva de ecuaci´n y = f (x) entre o x = a y x = b (´rea del conjunto que a aparece rayado en la figura. f (x)dx es igual al ´rea del recinto A a
aAhora bien, si f ≤ 0, entonces

189

de la siguiente figura con signo menos.
Y

b

En efecto, sabemos que
y = - f(x)

f (x)dx =
a

b

B
X O a

−
b a a
b

−f (x)dx. Como −f

≥

0,

A
y = f(x)

−f (x)dx representa el ´rea del a recinto B, que es exactamente el ´rea a del recinto A.

Ejemplo 6.1.1. Calcular el a´ea del recinto limitado por la curva y = x2 −1, rel eje OX, x = 0 y x = 2. Primero resolvemos la ecuaci´n x2 − 1 = 0, para obtener los valores de x o donde la funci´n y(x) cambia de signo. El ´rea pedida es la suma de las ´reas o a a
1

de los recintos A y B. Ar(A) = − Por tanto, el ´rea buscada es a
1 0

(x2 − 1)dx y Ar(B) =
1

2

(x2 − 1)dx.

−
0

(x2 − 1)dx +
1

2

(x2 − 1)dx = x −

x3 3

1 0

+

x3 −x 3

2 1=

1 8 1 6 = (1 − ) + − 2 − ( − 1) = = 2. 3 3 3 3 Consideremos ahora un recinto del tipo A = {(x, y) : f1 (x) ≤ y ≤ f2 (x), a ≤ x ≤ b}. Observando la figura, notamos que el ´rea de A es la difera encia
b b

Y y = f 2 (x)

f2 (x)dx −
y = f1 (x)
a a

f1 (x)dx.

O

a

b

X

Por la linealidad de la integral definida, el ´rea buscada viene dada por a 190

b

Ar(A) =
a

f2 (x)− f1 (x) dx.

Con estas ideas puede determinarse el ´rea de cualquier recinto plano A, a salvo que no podamos resolver las integrales correspondientes. Bastar´ dividir a A adecuadamente en un n´mero finito de trozos A1 , .., An , de modo que la u intersecci´n de dos culesquiera, Ai ∩ Aj , tenga ´rea nula. El ´rea de A es la o a a suma de las ´reas de cada trozo. a

Ejemplo 6.1.2. Calcular el´rea del recinto A limitado en el primer cuada 2 2 rante por las curvas x + y = 2 e y = x2 . Empezamos calculando los puntos de corte de ambas curvas. Para ello, resolvemos el sistema x2 + y 2 =
y=x
2

2

x +y =2

2

y
2

= x2

1

2

Sustituyendo y = x2 en la primera ecuaci´n, obtenemos x2 + x4 = 2. o Haciendo el cambio x2 = t, resulta t2 + t − 2 = 0. Las soluciones son t = −2 y t= 1.

Como x2 no puede ser negativo, s´lo sirve t = 1, por lo que x = 1. Para o calcular el ´rea pedida, dividimos el recinto en dos trozos A1 y A2 , como se a indica en la figura. Entonces
1

Ar(A) =
0 1

x2 dx +
1

√ 2

√

2 − x2 dx.

Ar(A1 ) =

1 x3 1 = . Para el c´lculo de la segunda integral, a 0 3 3 0 √ √ hacemos el cambio de variable x = x(t) = 2 sen t. Entonces x (t) = 2cos t x2 dx = 191

y tenemos
b

Ar(A2 ) =
a

√

2 − 2 sen2 t

√

b

2 cos t dt =
a

2 cos2 t dt,

siendo a y b tales que x(a) = 0 y x(b) = luego
b

√

2. Encontramos a = 0 y b = π , 2 sen 2t 2 π . 2

Ar(A2 ) =
a

2 cos t dt =
0 1 3

2

π 2

(1 + cos 2t) dt = t +

π 2

0

=

Finalmente, Ar(A) =

+ π. 2

6.2.

C´lculo de vol´ menes. a u

Enesta secci´n vamos a aprender a calcular el volumen de una figura o tridimensional que tenga la siguiente propiedad: existe alg´n eje en el espacio u de modo que al cortar la figura con planos perpendiculares a dicho eje se producen secciones cuyas ´reas sabemos calcular. a

a O

b X

x k-1

x

k

Tomamos el citado eje como eje OX y denotamos por A(x) el ´rea de la a secci´n producida alcortar la figura con un plano perpendicular al eje OX y o 192

que corta a ´ste en el punto de abcisa x, donde a ≤ x ≤ b. Vamos a mostrar e que el volumen de una figura de estas caracter´ ısticas viene dado por
b

V =
a

A(x) dx.

(6.1)

Para facilitar la comprensi´n, vamos a referirnos a la figura siguiente. Escoo gemos una partici´n arbitraria P = {xk }n del intervalo [a, b] e...