Calculo Integral

UNIVERSIDAD DE SANTIAGO DE CHILE.
FACUTAD DE CIENCIADEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA Y C.C.

CUADERNOS TEMÁTICOS
CUADERNO # 3.- CALCULO INTEGRAL.

Prof. JORGE INOSTROZA LAGOS.
Magister en Matemática.
2009.

1

INDICE.

Pág.

La integral indefinida.
La integral indefinida
Tabla básica de primitivas

1.6.-

Métodos de integración.
Método de integración directa.
Método desustitución o cambio de variables.
Método de integración por partes.
Método de descomposición en fracciones parciales.
Método de sustitución trigonométrica.
Otras sustituciones.
Integrales trigonométricas.
Fórmulas de reducción.
Guía de autoevaluación.

9.10.12.18.26.28.31.35.37.-

La integral definida.
Teorema Fundamental del Cálculo.

57.-

Aplicaciones de la integral
Área bajo unacurva.
Área entre curvas.
Área en coordenadas paramétricas.
Anexo de curvas polares.
Área en coordenadas polares.
Volúmenes de rotación.
Método de secciones transversales.
Volúmenes en coordenadas paramétricas.
Volúmenes en coordenadas polares.
Método de las capas cilíndricas.
Volúmenes de cuerpos de sección conocida.
Longitud de curvas.
Área de superficies de rotación.
Guía deautoevaluación.

59.
61.65.67.72.76.76.81.82.84.87.89.92.95.-

-º-

2

UNIVERSIDAD DE SANTIAGO DE CHILE.
FACUTAD DE CIENCIADEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA Y C.C.
2009
Prof. Jorge Inostroza Lagos

CUADERNO # 3.- CALCULO INTEGRAL.INDICE.

Pág.

3.1.-La integral indefinida.

2

3.1.1.-Tabla básica de primitivas

8-

3.2.-Métodos de integración.

9

3.2.1.-Método de integracióndirecta.
3.2.2.-Método de sustitución o cambio de variables.
3.2.3.-Método de integración por partes.
3.2.4.-Método de descomposición en fracciones parciales.
3.2.5.-Método de sustitución trigonométrica.
3.2.6.-Otras sustituciones.
3.2.7.-Integrales trigonométricas.
3.2.8.-Fórmulas de reducción.
3.2.9Guía de Ejercicios..

9.10.13.19.26.28.32.36.38.-

3.3.-La integral definida.

513.3.1.- La definición de integral
3.3.2.-Teorema Fundamental del Cálculo.

53
57.-

3.4.-Aplicaciones de la integral

59

3.4.1.-Cálculo de áreas planas
3.4.2.-Área en coordenadas paramétricas
3.4.3.-Anexo de curvas polares.
3.4.4.-Área en coordenadas polares.
3.4.5.-Volúmenes de rotación.
3.4.6.-Volúmenes en coordenadas paramétricas.
3.4.7Volúmenes en coordenadas polares.3.4.8.-Volúmenes de cuerpos de sección conocida.
3.4.9.-Longitud de curvas.
3.4.10.-Área de superficies de rotación.

59.
66
67.73.77.82.83.87.90.93

3.5.-LA INTEGRAL IMPROPIA.-

95

3.6.-GUÍA DE EJERCICIOS.

98-

3

3.1.-LA INTEGRAL INDEFINIDA.Definición.Para una función real de variable real, y = ƒ(x) definida en el intervalo I = [ a, b ] ⊆ R, se
define la primitiva de ƒ(x) como aquellafunción real F(x) tal que:
F’(x)=ƒ(x)
Observación
La primitiva de una función recibe también el nombre de antiderivada; ó
indefinida

integral

Ejemplo.x3
+ C.
3
2.- Si ƒ(x) = Sen x ⇒ F ( x) = −Cosx + C
1
3.- Si ƒ(x) =
⇒ F ( x) = Arctgx + C .
1 + x2
El alumno podrá agregar más ejemplos, de acuerdo a su dominio del tema de la derivada.

1.- Si ƒ(x) = x 2 ⇒ F ( x) =

Teorema.

SiF(x) y G(x), son primitivas de una misma función ƒ(x) ;entonces difieren en una
constante.
Demostración.

Como:
F´(x) = ƒ(x) y G´(x) = ƒ(x) ⇒ F´(x) - G´(x) = 0

∴ ( F − G )´(x) = 0 ⇒ ( F − G )( x) = cte.

(Por Teorema del valor medio),

luego: F ( x) − G ( x) = C .
Observación:

Por lo anterior, para las primitivas se adopta la notación:

∫ ƒ( x)dx = F ( x) + C
Propiedades

4a)

d
d
∫ f ( x)dx = f ( x) ⇔ por definición: dx F ( x) = f ( x)
dx

b)

∫ dx f ( x)dx = ∫ d ( f ( x)) = f ( x) .

d

Como: F ′( x) = f ( x)
dF

∫ dx dx
df

∫ dx dx

∫ f ( x)dx

=

∫ d ( F ( x))

⇔

∫

Para verlo mejor:

F ′( x)dx = ∫ f ( x)dx ⇔

= F ( x) , esto por definición, luego

= F(x) o lo que es lo mismo

= ∫ d (f(x)) = f(x)

Nota: Lo anterior...