Calculo integral

2010 Cálculo Integral: Guía II

Profr. Luis Alfonso Rondero García INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONAL CECYT “WILFRIDO MASSIEU”
Departamento de Unidades de Aprendizaje del Área Básica

15/10/2010

INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONAL
CECYT “WILFRIDO MASSIEU” Unidades de Aprendizaje del Área Básica

Integración de Potencias de Funciones Trigonométricas.
Cuando las integrales presentan potenciasde funciones trigonométricas es necesario utilizar diferentes identidades que permitan obtener una nueva expresión trigonométrica más sencilla para facilitar la integración.

Las identidades más empleadas son:
Sen 2 x + Cos 2 x = 1
Sen 2 x =
1 1  Cos 2x  2

Sec 2 x - Tg 2 x = 1
Cos 2 x =

Csc 2 x - Ctg 2 x=1

1 1  Cos 2x  2

Integrales de potencias de la función Seno.
 Si laspotencias son impares deberás emplear : de donde : Sen 2 x = 1 - Cos 2 x  Si las potencias son pares deberás emplear : Sen 2 x = Ejemplos: a) Sen 2 x + Cos 2 x = 1

1 1  Cos 2x  2

 sen

2

xdx  

1 1  cos 2 x dx   1dx   1 cos 2 xdx  1 x  1  cos u du  1 x  1  cos udu 2 2 2 2 4 2 2 2
u  2x du  2dx du  dx 2



1 1 x  sen 2 x  c 2 4

En algunos textos éstasolución se ve diferente porque se emplea la identidad del ángulo doble: Sen 2u = 2 Sen u Cos u

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
b)

1 1 1 1 1 1 x  sen 2 x  x  2senx cos x   x  senx cos x  c 2 4 2 4 2 2

 sen

3

xdx   senx sen 2 x dx   senx 1  cos 2 x dx









  cos x   u 2  du    cos x   u 2 du   cos x 





u3 1   cos x  cos 3 x  c 3 3

Integrales de potencias de la función Coseno.
 Si las potencias son impares deberás emplear : de donde : Cos 2 x = 1 - Sen 2 x  Si las potencias son pares deberás emplear : Cos 2 x = 1 1  Cos 2x  2 Sen 2 x + Cos 2 x = 1

Ejemplos:

a)

2  cos x dx

= 1  Cos 2 x dx 
1 2

1 1  dx  2  cos 2 xdx  2

 cos

2

x dx  

1 1  Cos 2 x dx  1  dx  1  cos 2 xdx  2 2 2

1 1 du 1 1 1 1 x   cos u  x   cos udu  x  sen2 x  c 2 2 2 2 4 2 4 du u  2 x du  2dx  dx 2 

Como:

Sen 2u = 2 Sen u Cos u



1 1 x  senx cos x  c 2 2

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INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONALCECYT “WILFRIDO MASSIEU” Unidades de Aprendizaje del Área Básica b)  cos 3 xdx   cos x cos 2 xdx   cos x1  sen2 x dx   cos x   cos xsen 2 xdx
u  senx du  cos xdx

 senx   u 2 du  senx  sen3 x  senx  c 3

u3 c 3

Integrales de potencias de la función Tangente.
Debes emplear : Identidad Pitagórica: Diferencial de la tangente: y la integral :
Sec - Tan u = 1 d tanu =Sec u du
2 2 2

 tan udu  ln secu  c

Ejemplos: a)  tan 2 udu
=  =  sec 2 u  1du   sec 2 udu   du  tan u  u  c

)

b)  tan3 udu =

 tan u tan

2

udu   tan u sec 2 u  1 du





  tan u sec 2 udu   tan udu
Realizando cambio de variable en la primera integral:

z  tan u dz  sec2 udu

 zdz  ln sec u  c 
c)  tan 4 udu
=

z2 1  ln sec u c  tan 2 u  ln sec u  c 2 2

 tan

2

u tan 2 udu  solo se sustituye una tangente cuadrada



tan 2 u sec 2 u  1 du   tan 2 u sec 2 udu   tan 2 udu z  tan u dz  sec 2 udu





  z 2 dz   tan 2 udu  

z3 1  tan u  u   c  tan 3 u  tan u  u  c 3 3
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Integrales de potencias de la función Cotangente.
Debes emplear: Identidad Pitagórica: Diferencial de la Cotangente: Integral de la Cotangente:
Csc - Ctg u = 1 d Ctgu = - Csc u du
2 2 2

 ctg udu  ln sen u  c

a)  cot 2 xdx   csc 2 x  1dx   csc 2 xdx   dx  ctgx  x  c

b)  cot 3 xdx   cot x cot 2 xdx   cot x csc 2 x  1...