CALCULO INVESTIGACION

9. APROXIMACIONES LINEALES Y NOTACION DIFERENCIAL

Hasta ahora se ha usado para la derivada de una función y con respecto a x, la notación de Leibnitz, dx/dy, como un símbolo y no como el cociente del símbolo dy (diferencial de la variable y) entre dx (diferencial de la variable x).Se define en esta sección el concepto de la
Diferencial , que nos permite representar la derivada como un cocientey hallar el valor aproximado de la variación de una función alrededor de un punto.
La definición esta motivada por el siguiente razonamiento geométrico.
Sea P(x0, y0) un punto fijo sobre la gráfica de y = f (x)
(fig. (a)).




Tomando el punto P(x0, y0) como origen, se introduce un nuevo sistema de coordenadas cuyos ejes dx y dy son paralelos a los ejes antiguos.
En este nuevo sistema decoordenadas, la recta tangente en el punto P pasa por el origen y en consecuencia, su ecuación es bastante simple, a saber: dy = mdx donde m es la pendiente. Ahora, como la pendiente en el nuevo sistema es la misma que la del antíguo, esto es m = f ’(x), se tiene entonces:

dy = f ’(x) dx

Lo anterior nos permite dar la definición formal de las diferencial.
Definición:
i) Se llama diferencial de lavariable independiente x, denotada por dx, al incremento ∆x; esto es
dx = ∆x

ii) Si y = f (x) es una función derivable de x, la diferencial de y en el punto x, denotada dy, se define como dy = f ´(x) ∆x , o también, dy = f ´(x) dx

Interpretación geométrica de la diferencial
Sea f una función derivable en x. En el triángulo P0 RQ, se tiene: RQ = m.∆x, en donde
m es la pendiente de la recta tangentea la curva en P0
(fig. (b)), y por tanto, m = f ’(x0).

Así que: RQ = f ´( x0)∆x = dy (1)

Además, ∆y = f ´( x0 + ∆x) – f (x0) (2)

Se puede observar entonces que:
∆y: es el incremento en y medido sobre la curva ; y,
dy :es el incremento en y medido sobre la recta tangente.
Observaciones:
i) Si la ecuación y = f (x) corresponde a una línea recta, entonces dy = ∆y para cualquier x
del dominio.ii) Puesto que , si dy = f '(x) dx, si dx ≠ 0, entonces al dividir ambos miembros de la última igualdad por dx, se tiene: dy/dx = f ´(x) y se puede de esta forma interpretar la derivada de una función como el cociente de dos diferenciales.
iii) De acuerdo con la observación ii. todas las reglas de diferenciales se deducen delas reglas de derivación (R.D.1.- R.D.16., sección ), multiplicando ambosmiembros de estas últimas por dx.
10. LA DIFERENCIAL Y SU INTERPRETACION GEOMETRICA



Interpretación geométrica del diferencial de una función en un punto.
El diferencial se puede tomar en el sentido geométrico como la elevación de la tangente desde el punto en que se toma el diferencial.
Recuérdese que la derivada de la función en el punto es la pendiente de la recta tangente a la función en elpunto, como sabemos que la tangente de un ángulo es igual al cociente entre el cateto opuesto (incremento de y) y el cateto contiguo (incremento de x) de un hipotético triángulo rectángulo, sólo hay que despejar el incremento de y que equivale a nuestro diferencial.
Vista geométricamente, la elevación se produce verticalmente a partir del punto en que se toma el diferencial. El incremento que setome representará el alejamiento horizontal que haga desde el punto en cuestión.
Así la elevación de la tangente que se obtenga como resultado dependerá del punto en cuestión y del alejamiento horizontal que se tomen, que en la formulas matemáticas están definidos respectivamente por y .
La forma en que hemos abordado el concepto de derivada, aunque existen varios conceptos, fue el encontrar larelación de la pendiente de la línea recta y´ =f ´(x) que era tangente a la función. Para un punto en particular podemos llegar a la definición de la derivada f ‘(x) y vimos que f ‘(x1) es la pendiente de la recta tangente a la curva en x=x1.
El diferencial se puede tomar en el sentido geométrico como la elevación de la tangente desde el punto en que se toma el diferencial.
Recuérdese que la...