Calculo - luis zegarra

Mett ®

Cap´ ıtulo 1 N´ meros Reales u
1.1. Introducci´n o

Llamaremos n´mero real a cualquier fracci´n decimal. u o Ejemplos: −2, 0; 2, 3333 . . .; 2, 25; −0,785; 3, 141592 . . .; 2,7182818 . . .; −1,4142136 . . . Las fracciones decimales peri´dicas se llaman n´meros racionales, as´ o u ı: p Q = {x / x = , q Q : conjunto de n´meros racionales u Z : conjunto de n´meros enteros. u Lasfracciones decimales no peri´dicas se llaman n´meros irracionales. o u √ Ejemplos: 3, 141592 . . . = π; 2,7182818 . . . = e; −1,4142136 . . . = 2. La uni´n de los n´meros racionales e irracionales se denomina conjunto de n´meros o u u reales, R. Todo n´mero real que no es racional se dice que es irracional. u (R, +, ·) constituye un cuerpo conmutativo (o campo), por lo tanto podemos trabajar con lasleyes del ´lgebra elemental. El conjunto de los n´meros reales es ordenado a u seg´n su magnitud, es decir, tal que para cualquier par: x, y ∈ R solo es satisfecha u una y s´lo una de las siguientes relaciones: x < y, x = y, x > y. o 1 p, q ∈ Z, q = 0}

Mett ®

Los n´meros reales se pueden representar mediante los puntos de un eje num´rico. u e −∞ ∞

| 0

-

Por definici´n, las desigualdades−∞ < x < +∞ se cumplen siempre para cualquier o n´mero real x. As´ pues, entre todos los n´meros reales y todos los puntos del eje u ı u num´rico existe una correspondencia biun´ e ıvoca. Una propiedad importante es: entre dos n´meros reales cualquiera existen siempre u n´meros racionales e irracionales, as´ u ı, Todo n´mero irracional se puede expresar, con el grado de precisi´n que u o sedesee, por medio de n´meros racionales. u

1.2.

Intervalos y Entornos

Un conjunto de n´meros reales x que satisfacen: u i) a < x < b ≡ (a, b) se denomina intervalo abierto (a y b son fijos). ii) a ≤ x ≤ b ≡ [a, b] se denomina intervalo cerrado. iii) a ≤ x < b ∨ a < x ≤ b ≡ [a, b) ∨ (a, b], se denomina intervalo semiabierto. El intervalo (a − , a + ) se denomina entorno- (o vecindad) del n´meroa. u

( > 0)

| a

(centro a y radio ).

El conjunto de n´meros reales x > M se llama entorno M del punto impropio +∞. u El conjunto de n´meros reales x < M se llama entorno M del punto impropio −∞. u

2

Mett ®

1.3.

Valor Absoluto / M´dulo o

El valor absoluto de un n´mero x (denotado por |x|), satisface, u |x| = x si x ≥ 0 −x si x < 0

Algunas propiedades de los valoresabsolutos son: 1. |x| ≥ 0 2. |x| ≥ x, |xy| = |x| |y|, | x | = y 3. |x ± y| ≤ |x| + |y| 4. |x ± y| ≥ |x| − |y| 5. |x| ≤ α ⇔ −α ≤ x ≤ α, (a ≥ 0) 6. |x| ≥ α ⇔ x ≥ α ∨ x ≤ −α Nota. El lector interesado encontrar´ m´s material en el texto de ´lgebra. a a a
|x| , |y|

(y = 0).

1.3.1.

Problemas resueltos
√ xy <
x+y 2

1. Probar que si 0 < x < y ⇒ x < Soluci´n. o Si x < y ⇒ x + y < 2y ⇒ y como:< y.

0 ⇒ x2 + y 2 > 2xy ⇒ x2 + y 2 + 2xy > 4xy √ ⇒ (x + y)2 > 4xy ⇒ x + y > 2 xy x+y √ ⇒ (3) xy < 2 √ luego, por (1), (2) y (3), x < xy < x+y < y. 2 3

Mett ®

2. Demuestre, dado a ≥ 0 y x > 0, se tiene: ra´ ıces). Soluci´n. o De inmediato,

√

a≤

ax2 +1 2x

(acotaci´n superior de o

√ √ √ ax2 + 1 ( ax2 − 1)2 ≥ 0 ⇒ ax2 − 2 ax + 1 ≥ 0 ⇒ a ≤ , 2x (la igualdad se cumple para x=
1 √ ). a

3. Demostrar que para todo r ∈ Q+ que satisfaga r2 < 2, siempre se puede hallar un n´mero racional mayor r + k; k > 0 tal que (r + k)2 < 2. u Soluci´n. o Se puede suponer k < 1 ⇒ k 2 < k y (r + k)2 = r2 + 2rk + k 2 < r2 + 2rk + k, 2−r2 por lo tanto, basta con hacer r2 + 2rk + k = 2, de donde k = 2r+1 . 4. Si r y s son n´meros racionales con s = 0, y si x es irracional, entonces losu s siguientes n´meros son todos irracionales: x + r, x − r, r − x, xs, x , x , x = 0. u s Soluci´n. o i) Supongamos que (x + r) ∈ Q, x + r = p ⇒ x = p − r ⇒ x es racional ya que es la diferencia de dos n´meros racionales, lo que contradice lo u supuesto, luego x + r es irracional.
s s ı ii) Supongamos x ∈ Q, x = 0, x = t, t = 0, as´ x = s , que es racional, lo t s que contradice lo supuesto,...