Calculo Varias Variabbles

Gu´ 1: Nociones B´sicas y Topologia – CALCULO EN VARIAS VARIABLES (MAT400) ıa a

´ UNIVERSIDAD DE LAS AMERICAS
´ INSTITUTO DE MATEMATICA, F´ ISICA Y ESTAD´ ISTICA ´ SEDE CONCEPCION Profesor:Mauricio Gallardo C. ´ Gu´ 1: Nociones Basicas y Topologia ıa
Calculo en varias variables - MAT400

e-mail: mgallardo@ucsc.cl

Norma y Producto interior 1. Considere los vectores u = (1, 0, −1), v =(2, 1, 2) y w = (1, 1, 0) 1.1) u + 2v − 3w 1.2) ||u|| 1.3) ||u||1 1.4) ||u||∞ 1.5) ||u||2 1.6) ||u||3 1.7) ||w|| + ||u − 2v|| 1.8) u, v 1.9) u + v, −3w

2. Considere los vectores u = (1, 0, −1) y v =(2, 1, 2) determinar si ellos son Ortogonales. − − → − → − − → 3. Determine un punto P tal que BP tenga norma 4 y sea ortogonal a los vectores AB y BC.

4. Hallar la longitud de los lados y los´ngulos interiores del tri´ngulo abc en el espacio R3 , donde a a a = (2, 4, 2), b = (6, 4, 3), c = (5, 7, 5).

5. Escribir el vector u = 3j + 4k como la suma de un vector a paralelo al vector v = i + jy otro b perpendicular a v. 6. Sea · una norma en R3 demuestre que x − y ≤ x−y para todo x, y ∈ R3

7. Probar que si u y v dos vectores de R3 los cuales son son ortogonales, entonces ||u + λv|| ≥||u||, ∀λ ∈ R 8. Sean p, q ∈ P1 (R) el espacio con producto interno en [0, 1] definido por
1

p, q =
0

p(x)q(x) dx

. Sea p(x) = 3x + 1 y q(x) = ax + b. Determine la relaci´n que debe cumplir ay b para que p(x) y q(x) o sean ortogonales. → → → → → → 9. Sean − y − dos vectores de R3 tales que − = − = 1. Probar que si − y − son ortogonales, entonces u v u v u v → → − − − = √2 u v

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Gu´ 1: Nociones B´sicas y Topologia – CALCULO EN VARIAS VARIABLES (MAT400) ıa a

→ → →→ 10. Sean − y − dos vectores no nulos de R3 . Probar que si − y − son ortogonales, entonces para todo α ∈ R u v u v se tiene → − ≤ − + α− → → v v u 11. Considere las normas del m´ximo y de la suma...