Calculo Vectorial

APÉNDICE C ÁL C U L O V E C T O R I AL

1. Vector función de un escalar Un vector A es función del escalar u si lo es alguna de sus componentes: A(u) = Ax(u)i + Ay(u)j + Az(u)k
(1)

Al dar valores a u vamos obteniendo una serie de vectores A ; se trata de una aplicación de R en R3 , u → A(u). Si tomamos todos los vectores con origen en O, sus extremos dibujan una curva en el espacio, llamadaindicatriz, de ecuaciones paramétricas Ax = Ax(u) ; Ay = Ay(u) ; Az = Az(u).
→

donde ∆Ax = Ax(u + ∆u) - Ax(u) y análogamente para las componentes ∆Ay y ∆Az. La derivada de A se define como el límite al que tiende el cociente ∆A/∆u cuando el incremento de la variable se hace cada vez más pequeño; es decir: ∆ Ay ∆A ∆ Ax ∆ Az = lim i + lim j + lim k (4) ∆u → 0 ∆ u ∆u → 0 ∆ u ∆u → 0 ∆ u ∆u → 0 ∆u lim Dicho de otro modo, la derivada de un vector es otro vector cuyas componentes son las derivadas de las componentes del primero: d Ay d Ax d Az dA = A' = i+ j+ k du du du du
(5)

A(u )
→

A(u' )
→

A( u'' )

O

El vector derivada es tangente a la curva indicatriz, ya que ∆A/∆u tiene la misma dirección que ∆A (PQ, en la figura 2); y cuando ∆u → 0 , los extremos de A(u) y A(u + ∆u)se aproximan (Q tiende a P) y la recta PQ tiende a hacerse tangente a la curva en P.
P
→

Figura 1 El parámetro u representa un escalar cualquiera, pero frecuentemente se tratará del tiempo t. Del mismo modo, el vector A puede describir muchas magnitudes físicas. Si representa la posición r de un punto o partícula, la indicatriz, r(u), será su trayectoria.
O A(u)

dA __ du ∆A
→

→

Q'Q

→

u A(u+∆ )

2. Derivada e integral de un vector Figura 2 Para un valor u del escalar el vector A viene dado por la ecuación (1). Si se incrementa la variable en un ∆u, el vector tomará un valor incrementado, Reglas de derivación La derivación de vectores tiene propiedades similares a las que cumplen los escalares. Así, si tenemos los vectores A(u) , B(u) y la función escalar f(u) severifica: a) Derivada de la suma de vectores: d ( A + B) d A d B = + du du du
(6)

A(u ) + ∆ A = A(u + ∆ u ) = = A x (u + ∆ u )i + A y (u + ∆ u ) j + A z (u + ∆ u )k
Restando (1) de (2) tenemos:

(2)

∆A = A(u + ∆u) - A(u) = ∆Axi + ∆Ayj + ∆Azk (3)

Apéndice

Cálculo vectorial

1

b) Derivada del producto por un escalar: d f(u ) ⋅ A(u ) d f(u ) dA(u ) = ⋅ A(u ) + f (u ) ⋅ du du du c)Derivada de un producto escalar:
(7)

una aplicación de R3 en R. Aunque no es necesario que φ esté expresada en función de las coordenadas cartesianas, será lo más habitual. El conjunto de todos los puntos del espacio donde el campo toma un determinado valor φo forman una superficie equiescalar, cuya ecuación será: φ(x , y , z) = φo
(14)

d [ A(u ) ⋅ B(u )] = dA(u ) ⋅ B(u ) + d B(u ) ⋅ A(u) (8) du du du

Ejemplo 1: Demostrar que si un vector función de un escalar tiene módulo constante su derivada es otro vector perpendicular al primero. Si A(u) tiene módulo constante, A(u)·A(u) = A2 = cte
(9)

Por tanto, la derivada de este producto debe ser cero: dA dA dA ⋅A+ A⋅ = 2A ⋅ =0 du du du
(10)

Las superficies equiescalares pueden representar puntos que tienen la mismatemperatura (isotermas), el mismo potencial (equipotenciales) o cualquier otra magnitud escalar. Si el campo está definido en un plano las equiescalares serán líneas en vez de superficies. Un ejemplo lo tenemos en las curvas de nivel de un mapa topográfico. En este caso, la función es la altura H de cada punto P del plano de coordenadas (x , y): H = f(x , y).

H H3 H2 H1 y H0 P
Figura 3 Los puntos quetienen la misma altura (H1, por ejemplo) forman una línea equiescalar de ecuación f(x , y) = H1 . Proyectando determinadas líneas o curvas de nivel sobre el plano resulta el mapa topográfico (figura 5). En las funciones de una sola variable, y = f(x) , la derivada se define como el limite al que tiende el cociente de incrementos ∆y/∆x cuando ∆x → 0. Pero un campo escalar φ(x , y , z) tendrá...