calculo vectorial

GABRIEL VAZQUEZ_UPS 1

FORMULARIO DE CÁLCULO VECTORIAL.
VECTORES:
Norma de un vector:

u 

u u
2

2

1

2

Vector unitario:

Producto punto o producto escalar:

u
u

u  v   u i  vi  u1v1  u 2 v2    u n vn

   un
2

n

i 1

Cosenos directores:

cos( ) 

u
u1
u
, cos( )  2 , cos( )  3 ;
u
u
u

Angulo entre dos
vectores:

u vcos( ) 
uv

cos 2 ( )  cos 2 (  )  cos 2 ( )  1
Producto cruz o producto vectorial:

u  v  u v sen( )

u  v  u v  (u  v)
2

2

2

2

Área del paralelogramo generado por u y
v:

Área del triángulo
es la mitad del
área del
paralelogramo
generado por u y v

A  uv
u2

u

cos( ) 

u v
 v cos( )
u

Producto cruz o producto vectorial:

i

j

ku  v  u1

u2

u3 

v1

v2

v3

u  (v  w)  v1

v2

v3

w2

Volumen del paralelepípedo generado por

u3

w1

w3

r  r0  tv

Volumen de la pirámide inscrita es 1/6 del volumen
del paralelepípedo generado por u, v y w.

x  x0  tv1

: donde v es el

vector dirección, r0=(x0,y0,z0) y t es un escalar.

Ecuaciones paramétricas de la recta:

y  y 0 tv 2
z  z 0  tv 3

Ecuaciones simétricas de la recta:

x  x0 y  y0 z  z0


; con
v1
v2
v3

Ecuación vectorial del plano:

u, v, w:

V  u  (v  w)

RECTAS Y PLANOS EN EL ESPACIO.
Ecuación vectorial de la recta:

uv

compu v 

 i (u 2 v 3  v 2 u 3 )  j (u1 v 3  v1u 3 )  k (u1 v 2  v1u 2 )

u1
Triple producto escalar:

Componente de v a lo largo de u:v1v2v3  0

n  (r  r0 )  0

donde n es el

vector normal al plano, r0 =(x0,y0,z0) y r =(x,y,z).

Ecuación escalar del plano que pasa por P0=(x0,y0,z0)
y tiene como vector normal a
n =(a,b,c):

a( x  x0 )  b( y  y0 )  c( z  z 0 )  0 .
Distancia de un punto Q a un plano:

x  x0  tv1  su1

Ecuaciones paramétricas del plano: y  y  tv  su
0
2
2




z  z 0 tv 3  su3

D  comp n ( PQ ) 

PQ n
n



ax 0  by 0  cz 0  d
a2  b2  c2



Distancia de un punto Q a una recta L esta dada por: D 
SUPERFICIES.
Una superficie de revolución tiene la ecuación:
x2 + y2 = [r(z)]2 girando en torno al eje z
y2 + z2 = [r(x)]2 girando en torno al eje x
x2 + z2 = [r(y)]2 girando en torno al eje y

PQ u

, donde P es un punto cualquiera dela recta.

u

Superficies cuadráticas:
Ax2 + By2 + Cz2 + Dxy + Exz + Fyz + Gx + Hy + Iz + K = 0
Se clasifican en esferas, elipsoides, hiperboloides de una
hoja, hiperboloides de 2 hojas, cilindro elíptico o circular
recto, cilindro hiperbólico recto, cono recto, paraboloide
elíptico, paraboloide hiperbólico.

GABRIEL VAZQUEZ_G5

GABRIEL VAZQUEZ_UPS 2

DERIVADAS PARCIALES
Derivadasparciales de orden superior:
2
  f  
f ( x, y )    
f x  f xx ;
x 2
x  x  x
2
  f  
f ( x, y )    
f y  f yx ;
xy
x  y  x
 

2
  f  
f ( x, y )    
f y  f yy
y 2
y  y  y
 
2
  f  
f ( x, y )    
f x  f xy
yx
y  x  y

La derivada direccional de una función z=f(x,y), en la dirección
del vectorunitario u=(u1,u2) en el punto (x0,y0) está dada por:

Du f ( x 0 , y 0 )  u  f ( x 0 , y 0 ) 

Gradiente de z=f(x,y)

f ( x, y)  ( f x , f y ) .

Gradiente de w=f(x,y,z)

f ( x, y, z )  ( f x , f y , f z )

Si F(x,y,z)= z – f(x,y)= 0, entonces un vector
normal a la superficie z está dado por:

F ( x, y, z)  ( Fx , Fy , Fz )
Si la función z=f(x,y), es diferenciable en elpunto
(x0,y0) entonces:

z  dz  f x ( x 0 , y 0 )dx  f y ( x 0 , y 0 )dy

 (u1 , u 2 )  ( f x ( x 0 , y 0 ), f y ( x 0 , y 0 ))
La ecuación del plano tangente a la superficie F(x,y,z)= 0 en el
punto P=(x0,y0,z0) está dada por:

Si la superficie es z=f(x,y), la ecuación del plano
tangente en el punto P=(x0,y0,z0) es:
( f x ( x0 , y0 ), f y ( x0 , y0 ),1)  x  x0 , y  y0 , z ...