Calculo vectorial

CAPITULO 7
______________________________ “Nuestras almas, cuyas facultades pueden comprender la maravillosa arquitectura del mundo, y medir el curso de cada planeta vagabundo, aún escalan tras el conocimiento infinito” Christopher Marlowe.

INTEGRALES DE LÍNEA Y TEOREMA DE GREEN
7.1. 7.2. 7.3. 7.4. 7.5. 7.6. 7.7. Definición, cálculo y aplicaciones de la integral de trayectoria. Definición ycálculo de la integral de línea, como una integral vectorial. Orientación en una integral de línea. Aplicación de la integral de línea al cálculo de trabajo. Integrales de línea en campos conservativos. Teorema de Green, aplicaciones Formas vectoriales del teorema de Green.

7.1 DEFINICIÓN, CÁLCULO Y APLICACIONES DE LA INTEGRAL DE TRAYECTORIA. Dada una función

f ( x, y, z ) : U ⊂ R 3 → Rdiferenciable y acotada en σ (t ) ,
la parametrización de una trayectoria en R 3,

σ (t ) = ( x(t ), y (t ), z (t )) σ (t ) : [a, b] ⊂ R → R 3 .

σ (t )
( a ) b

z

σ (b)

σ (a)

y
∆s

Figura 7-1 Dividimos a la trayectoria en “n” particiones. Queda la curva dividida en “n” segmentos de curva y cada uno tiene una longitud de curva ∆si . Definimos el producto:

x

∆S i = f ( xi ,yi , zi )∆si
Al considerar la parametrización tendremos que los puntos de la curva se definen de la siguiente manera:

(xi , yi , zi ) = σ (ti )
Para un segmento de curva muy pequeño su longitud es aproximadamente la magnitud del vector velocidad por lo cual tendremos:

∆si = σ ' (ti ) ∆ti
Si consideramos S como la suma de todos los
n n

∆S i :

S = ∑ ∆S = ∑ f ( xi , yi , zi )∆si = ∑ f(σ (ti )) σ ' (ti ) ∆ti
i =1 n i =1

Cuando se toma un número de particiones “n” muy grande entonces tendremos:

S = lim ∑ ( f o σ ) t σ ' (ti ) ∆ti
n →∞ b i =1
i

S = ∫ ( f o σ ) σ ' (t ) ∂t = ∫ f ds
a

σ

Definición:

f ( x, y, z ) una función escalar definida en U ⊂ R 3 → R , diferenciable y acotada en U, σ (t ) = ( x (t ), y (t ), z (t )) la parametrización de una trayectoriaen 3 R3, σ (t ) : [a, b] ⊂ R → R . Se llama integral de trayectoria de f sobre σ a la
Sea integral:

∫ f ∂s = ∫ ( f o σ )σ ' (t ) ∂t σ
a

b

Observaciones: • • • La integral de trayectoria es una versión escalar de la integral de línea que es la versión vectorial. Cuando se habla de la integral de trayectoria no es necesario asociar una orientación a σ. La integral de trayectoria se puedeevaluar como una integral definida

Ejemplo 7-1

f ( x, y , z ) = x 2 + y 2 + z 2 ; sobre la trayectoria de una hélice σ (t ) = (cos t , sen t , t ) de [0,2π ] .
Evaluar la integral del campo escalar Resolvemos la integral de acuerdo a la definición:
2π

Solución:

∫ σ

f ∂s = =

∫ (cos
0 0

2

t + sen 2 t + t 2 (− sen t , cos t ,1) ∂t cos 2 t + sen 2 t + 1 ∂t

)

2π

∫ (1+ t )
2 2π

= 2 ∫ 1 + t 2 ∂t
0

(

)

 t3  = 2 t +   3 0

2π

∫ f ∂s = σ

8   2  2π + π 3  3  

Aplicaciones de la integral de trayectoria 1era. Aplicación: Dada una función f ( x, y , z ) = 1 . Al integrar esta función, sobre una región σ, obtendremos la suma de las longitudes de los segmentos de curva. Es decir tendremos la longitud total de la curva σ.

σ

∫f ∂s = σ ∂s = ∫ σ ' (t ) ∂t = L[σ ] ∫
a

b

Ejemplo 7-2

Calcule

de curva de σ (t ) = (a cos t , a sen t , bt ) , donde t ∈ 0,2π .

la

longitud

[

]

una

hélice

Solución:

Resolvemos la integral de acuerdo a la definición:

L[σ ] = ∫ ∂s
σ
2π

= =

∫ (− a sen t, a cos t , b ) ∂t
0

2π

∫
0

a 2 sen 2 t + a 2 cos 2 t + b 2 ∂t
2π

= a 2 + b 2 ∫ ∂t
0L[σ ] = 2π a + b 2
2

2da. Aplicación: Sirve para encontrar el valor promedio del campo escalar f a través de la curva σ.

Vp =
3ra. Aplicación:

∫ f ds σ
L[σ ]

f ( x, y ) : U ⊂ R 2 → R , continua e integrable en D ⊂ R 2 tal que f ( x, y ) > 0 , ∀( x, y ) ∈ D ; σ (t ) = ( x (t ), y (t )) la parametrización de una
Dada una función trayectoria en R2,

σ (t ) : [a, b] ⊂ R → D ⊂ R...