Calculo Vectortial

Funciones vectoriales de variable real
Una Función vectorial de variable real es una función cuyo dominio es parte de
es parte de

Rn .En

f : D ⊆ R −→ Rn

R

y cuyo recorrido

símbolos es
denida como

f (t) = (x1 (t), x2 (t), · · · , xn (t))

Un caso particular son las curvas en
dependientes del parámetro

t,

R2

y en

R3

que se escriben como ecuacionesparametricas

asi por ejemplo

Ejemplo1:
las ecuaciones

x = acos(t)
y = asen(t)

f :[0,2π] −→ R2

corresponden a la función

, denida como

cia centrada en (0,0) y de radio

f (t) = (cos(t), sen(t))
a.

cuyo recorrido corresponde a la circunferen-

Ejemplo2
La función


x = t


y=t
2


z = t
2
y = x.

f : [−2, 2] −→ R3

denida por

cuyo recorrido es lacurva en

R3

1
f (t) = (t, t, t2 )
2

dene a las ecuaciones paramétricas

que se muestra en la gura, una parábola en el plano

De la curvas interesa estudiar su curvatura, su torsión, vectores tangentes, longitud de la curva,
etc.
El escribir una curva en la forma
escoge en un intervalo adecuado

x = x(t)
y = y(t)

es parametrizar la curva donde el parámetro

t

se

[a, b]Ejemplos

ˆ

→
−
α(t) = P + t d
→
−
Si P = (1, 1, 1) por ejemplo es la posición y d = (−2, 0, 1) es la dirección, la ecuación vectorial

La recta de posición P y dirección

→
−
d

se escribe

es

α(t)
 = (1, 1, 1) + t(−2, 0, 1)
x = 1 − 2t

y=1


z =1+t

lo que arroja la parametrización

1

con

ˆ

t ∈ R.

La ecuación vectorial del segmento de rectodesde el punto A hasta el punto B es

α(t) = A + t(B − A)
ˆ

con

0

t

La parametrización de la elipse

x = acos(t)
y = bsen(t)

con

1.
x2
y2
+ 2 =1
a2
b

es

t ∈ [0, 2π]

Derivada de una función vectorial de variable real.
Dada la función

f : D ⊆ R −→ Rn denida como f (t) = (x1 (t), x2 (t), · · · , xn (t)) se
t0 ∈ D si existe el límite:
f (t0 + h) − f (t0 )f (t0 ) = lim h→0
este límite es la derivada de la
h
(x1 (t), x2 (t), · · · , xn (t)) entonces f (t) = (x1 (t), x2 (t), · · · , xn (t))

dice que

f

función en

es diferenciable en

t0 .

Como

f (t) =

Interpretación geométrica de la derivada.

f (t) es un radio vector
f (t + h)es otro vector que se obtiene cuando t se mueve a (t + h)
f (t + h) − f (t) es el vectordiferencia de los vectores f (t + h) y f (t)
f (t + h) − f (t)
es un vector paralelo al vector cuerda f (t + h) − f (t)
h
f (t + h) − f (t)
Entonces la dirección del vector
se aproxima a la dirección del vector f (t) cuando
h
h→0
f (t) es el vector velocidad del camino f en el punto f (t), es el vector tangente de la curva C en el
punto f (t).

Recta Tangente y Plano normal

f : D ⊆ R −→R3 un camino regular. La recta tangente a la curva en el punto f (t0 ) es la recta
3
en R que pasa por f (t0 ) y es paralelo al vector f (t0 ) , su ecuación es
X = f (t0 ) + s · f (t0 ), s ∈ R.
El plano normal a la curva f es aquel que pasa por el punto f (t0 ) y que tiene como vector normal
al vector f (t0 ) .Su ecuación es
f (t0 ) · (X − f (t0 )) = 0.
Sea

2

Ejemplo
Dada la curvadada por la función

f : R → R3

denida por

f (t) = (cost, sent, t),Hallar

π
f( )
4

ˆ

El vector velocidad en el punto

ˆ

la función rapidez

ˆ

la rapidez en

ˆ

la ecuación vectorial en el punto

ˆ

la ecuación del plano normal en el punto

t=

π
4
π
f( )
4
π
f ( ).
4

Solución
Derivamos la función

π
se tienen los vectores
f (t) = (cost, sent,t)⇒f (t) = (−sent, cost, 1) evaluando en
4
√ √
π
π
π
π
2
2
f ( ) = (−sen( ), cos( ), 1)= (−
,
,1)⇐=Es el vector velocidad en
, a su vez
4
4
4
2
2
4
π
vector tangente a la curva en el punto f ( ).
4
√
√
la función rapidez es es f (t) =
sen2 t + cos2 t + 1= 2. En este caso la función es
stante, en general depende de la variable t.
La rapidez en

π
4

es

π
f( ) =...