Calculo i

UNIVERSIDAD DE SANTIAGO DE CHILE
FACULTAD DE CIENCIA Departamento de Matem´tica y Ciencia de la Computaci´n a o

´ CALCULO Versi´n Final (En Revisi´n) o o

C´lculo en una Variable a

Gladys Bobadilla A. y Rafael Labarca B.

Santiago de Chile Noviembre 2008

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Prefacio
El cero es el silencio antes del n´mero u El n´mero es el verbo matem´tico u a Lo matem´tico es el c´lculo de larealidad a a La realidad es lo unico incre´ ´ ıble Lo incre´ ıble es lo que no podemos Y lo que no podemos es lo que queremos. Patricio Manns. Este texto es producto - en elaboraci´n a´n - del proyecto de desarrollo de la docencia o u Texto de c´lculo anual para ingenier´ civil, financiado por la Vicerrector´ de Doa ıa ıa cencia y Extensi´n de la Universidad de Santiago de Chile. o Gran parte delos contenidos de los cap´ ıtulos 1 y 2 est´n sacados del antiguo texto de a C´lculo I escrito por Gladys Bobadilla y Jorge Billeke (Q.E.P.D.). a La idea motriz de los autores para emprender esta tarea es el profundo convencimiento que ´sta es una forma de contribuir a una cultura nacional independiente. e Aunque los temas tratados - generados en Europa entre los siglos 17 y 19 - forman parte delpatrimonio universal y existe una amplia y variada literatura, no es una raz´n o suficiente para que la universidad renuncie a crear su propio material docente. Esta labor es tan importante como la creaci´n de nuevos conocimientos y necesita, como esta ultima, o ´ de una tradici´n para la cual se debe recorrer un largo camino de errores y rectificaciones. o Adem´s, queremos compartir con los j´venesestudiantes que usar´n este libro, la rea o a flexi´n del fil´sofo Gast´n Bachelard (1884 - 1962) sobre lo que significa enfrentarse al o o o conocimiento cient´ ıfico: ”Frente al misterio de lo real el alma no puede, por decreto, tornarse ingenua. Es entonces imposible hacer, de golpe, tabla rasa de los conocimientos usuales. Frente a lo real, lo que cree saberse claramente ofusca lo que debierasaberse. Cuando se presenta ante la cultura cient´ ıfica, el esp´ ıritu jam´s es joven. Hasta es muy a 1

2 viejo, pues tiene la edad de sus prejuicios. Tener acceso a la ciencia es rejuvenecerse espiritualmente, es aceptar una mutaci´n brusca que ha de contradecir a un pasado.”1 o Agradecemos los valiosos comentarios de la Dra. Cecilia Yarur, la profesora Graciela Escalona y el se˜or Luis Riquelmeque nos ayudaron a mejorar la presentaci´n de este n o texto. Agradecemos adem´s, el apoyo t´cnico en la escritura digital, de la se˜orita Evelyn a e n Aguilar y el se˜or Leonelo Iturriaga. n Finalmente, siendo ´sta una versi´n preliminar, agradeceremos a quienes detecten ee o rrores nos lo hagan saber.

Gladys Bobadilla A y Rafael Labarca B. Santiago, marzo de 2002.

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Gast´n Bachelard: Laformaci´n del esp´ o o ıritu cient´ ıfico. Ed. Siglo XXI, 1997.

Agradecimientos
Esta versi´n del texto ha sido financiada por la Vicerrector´ de Docencia y Extensi´n de o ıa o la Universidad de Santiago de Chile, a trav´s del proyecto de desarrollo docente 2006-2007, e Versi´n final del texto gu´ de c´lculo para ingenier´ civil y ciencias. o ıa a ıa

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´ Indice general
1. Los n´meros reales u 1.1. La aritm´tica de los n´meros reales: axiomas de cuerpo . e u 1.2. Comparaci´n de los n´meros reales: axiomas de orden . . o u 1.2.1. Los axiomas de orden . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.2. Resoluci´n de ecuaciones de grado mayor que uno o 1.2.3. Desigualdades e inecuaciones . . . . . . . . . . . . 1.3. Una distancia en R: el valor absoluto . . . . . . . . . . . . 1.4. Lacontinuidad de R: el Axioma del Supremo . . . . . . . 2. L´ ımites y continuidad 2.1. L´ ımites de funciones num´ricas de variable discreta. . . . e 2.1.1. Las variables discretas y el conjunto N . . . . . . . 2.1.2. Sucesiones mon´tonas no acotadas . . . . . . . . . o 2.1.3. Sucesiones mon´tonas acotadas . . . . . . . . . . . o 2.1.4. Sucesiones convergentes no mon´tonas . . . . . . o 2.2. L´ ımites...