Calculo

Números enteros:
Los números enteros son una generalización del conjunto de números naturales que incluye números enteros negativos (resultados de restar a un número natural otro mayor), además del cero. El hecho de que un número sea entero, significa que no tiene parte decimal. Los números enteros negativos pueden aplicarse en diversos contextos, como la representación de profundidades bajo elnivel del mar, temperaturas bajo cero, o deudas, entre otros.

Los números enteros positivos y negativos, son el resultado natural de las operaciones suma y resta. Su empleo, aunque con diversas notaciones, se remonta a la antigüedad.
El nombre de enteros se justifica porque estos números ya positivos o negativos, siempre representaban una cantidad de unidades no divisibles (por ejemplo,personas).
No fue sino hasta el siglo XVII que tuvieron aceptación en trabajos científicos europeos, aunque matemáticos italianos del renacimiento como Tartaglia y Cardano los hubiesen ya advertido en sus trabajos acerca de solución de ecuaciones de tercer grado. Sin embargo, la regla de los signos ya era conocida previamente por los matemáticos de la India.
Estructura de los números enteros:
Losenteros con la adición y la multiplicación forman una estructura algebraica llamada anillo. Pueden ser considerados una extensión de los números naturales y un subconjunto de los números racionales (fracciones). Los números enteros son subconjunto de los números racionales o fracciones, puesto que cada número entero puede ser considerado como una fracción cuyo denominador es el número uno.
Losnúmeros enteros pueden ser sumados y/o restados, multiplicados y comparados. Si la división es exacta, también pueden dividirse dentro del mismo conjunto de los enteros. La razón principal para introducir los números negativos sobre los números naturales es la posibilidad de resolver ecuaciones del tipo:

Para la incógnita x.
Matemáticamente, el conjunto de los números enteros con las operaciones desuma y multiplicación, constituye un anillo conmutativo y unitario. Por otro lado, , donde es el orden usual sobre, es un conjunto completamente ordenado sin cota superior o inferior: los enteros no tienen principio ni fin. El conjunto de los números enteros se representa mediante (el origen del uso de Z es el alemán Zahl, «número» o «cantidad»).
Definición de adición y multiplicación sobrenúmeros enteros:
Se define la adición (+) sobre como sigue:
| Info=para todo
Teniendo previamente definida la adición sobre. La definición anterior no depende de los representantes escogidos puesto que, por tanto cualesquiera pares iníciales escogidos conducen al mismo resultado:

La multiplicación () sobre se define como sigue:
| Info=para todo
Teniendo previamente definida la multiplicaciónsobre. La definición anterior está correctamente definida debido a que:

Propiedades de los números enteros:
Propiedades de clausura:
Si, existen tales que:

y, de esto,

De la clausura de la adición sobre, se sigue, por definición, que

Se tiene que la adición sobre el conjunto de los números enteros verifica la propiedad
* Para cualesquiera
Lo mismo cumple la multiplicaciónsobre:
* Para cualesquiera
Propiedades asociativas:
Las propiedades asociativas de la adición y la multiplicación sobre se siguen fácilmente de las definiciones de estas operaciones. Estas propiedades son:
* Para cualesquiera
Y
* Para cualesquiera
Propiedades conmutativas:
Puesto que [(m,n)]+[(p,q)]=[(m+p\ ,\ n+q)]=[(p+m\ ,\ q+n)]=[(p,q)]+[(m,n)] para cualesquiera , tenemos que* Para cualesquiera
Esta es la propiedad conmutativa de la adición sobre. Esta propiedad la tiene también la multiplicación:
* Para cualesquiera
Propiedad distributiva
Sean los enteros [(a, b)], [(c, d)] y [(m, n)]. Tenemos
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| | . |
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Por tanto se cumple la...