Calculo

MEX-33 ITM. MATEMÁTICAS ESPECIALES. ITM CLASE # 11

Docente: Martha Guzmán. Página # 1 de 11

COMPETENCIA: Manejo de técnicas para solucionar Ecuaciones Diferenciales con la TRANSFORMADA DE LAPLACE. Temas: Transformada y Antitransformada de LAPLACE. Método de Descomposición en fracciones parciales de HEAVISIDE.

TRANSFORMADA DE LAPLACE L
DEFINICIÓN: Es una integral que permite transformaruna función f ( t ) que está en el dominio del tiempo t, al dominio de la frecuencia compleja S como una función F ( s ).

F(s) =

L

+∞

[ f(t) ] =

∫ e –st
0

f(t)

dt

Donde: s = σ + j w ; Frecuencia compleja. σ = Frecuencia de Nieper o Neperiana. w = Frecuencia Angular o Velocidad Angular. [rad / seg] Consulte la definición de la frecuencia de Nieper, el uso que recibe y susunidades.

ANTI-TRANSFORMADA DE LAPLACE L

-1

DEFINICIÓN: Es una integral que permite transformar una función F ( s) que está en el dominio de la frecuencia compleja S, al dominio del tiempo t como una función f ( t ).
+∞

f(t) =

L

-1

[ F(s ) ] =

1 . 2πj

∫ e st
0

F( s ) ds

L [f(t)]
f(t) Dominio del tiempo F(s) Dominio de la Frecuencia S

L

-1

[F(s)]TABLAS DE TRANSFORMADA DE LAPLACE L
A continuación se presenta un ejemplo de tablas de transformadas de Laplace: ANTITRANFORMADAS DE LAPLACE
-1

L

TRANSFORMADAS DE LAPLACE

L

F(s) = L [ f (t)] A/s . 1 . ; s >a e at (s–a) Sen ( a t ) . a . s2 + a2 Cos ( b t ) . s . s2 + b2 n t . n! . s (n+1) t . 1 . s2 Recuerde las convenciones de las tablas: Primeras letras del abecedario representanconstantes.

f ( t ) = L -1 [ F ( s ) ] A

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PROPIEDADES DE LA TRANSFORMADA L
A continuación se presentan algunas propiedades de las transformadas de Laplace:

1) Sea una función f ( t ),
L [ f (t) ] = F(s)
EJEMPLO # 1: f ( t ) = 18 L [ f (t) ] = ? L [ f ( t ) ] = F ( s ) = 18 / s

su transformadade laplace es:

EJEMPLO # 2: g ( t ) = e 14 t L [ g (t) ] = ? L [ g (t) ] = G(s) = . 1 . ( s – 14 ) ; Siempre que se cumpla que: s > 14

EJEMPLO # 3: i ( t ) = Sen ( 7 t ) L [ i (t) ] = ? L [ i (t) ] = I(s) = . 7 . s2 + 72 = . 7 s2 + 49 .

EJEMPLO # 4: v ( t ) = Cos ( 31 t ) L [ v (t) ] = ? L [ v (t) ] = V(s) = . s . s2 + 312 = . s . s2 + 961

2) Sea una función
L [ a* f (t)] =

a * f( t ), donde a es una constante, su transformada de L es:
a* L [ f (t)] = a* F(s)

EJEMPLO # 1: m ( t ) = 3 * e 14 t L [ 3*m (t) ] = ? L [ 3*m (t) ] = 3 *L [ m(t) ] = 3* M(s) = 3* . 1 ( s – 14 ) . = . 3 ( s – 14 ) .; donde: s > 14

EJEMPLO # 2: q ( t ) = Sen ( 7 t ) L [ 25 * q ( t ) ] = ? L [ 25 * q ( t ) ] = 25 * L [ q ( t ) ] = 25 * Q ( s ) = 25 * . 7 ( s2 + 72 ) . = . 175 ( s2 + 49 ) .EJEMPLO # 3: v ( t ) = Cos ( 31 t ) L [9* v (t) ] = ? L [ 9*v (t) ] = 9*L [ v (t) ] = 9* V(s) = 9*. s ( s2 + 312) . = . 9s s2 + 961 .

3) Sea una función: m ( t ) =

a*f(t) + b*g(t)

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L L L

[ m (t)] [ m (t)] [ m (t)] M(s)

= L [ a*f(t) + b*g(t)] = L [ a*f(t)] + L [b*g(t)] = a* L [ f(t)] +b* L [g(t)] = a * F(s) + b* G(s)

EJEMPLO # 1: m ( t ) = 3 e 14 t L [ m (t) ] = ? L

+

25 Sen ( 7 t ) [ 3 e 14 t ] + L [ 25 Sen ( 7 t ) ] [ e 14 t ] + 25 * L [ Sen ( 7 t ) ] + + 25 * . 7 . ( s2 + 49 ) . 175 . ( s2 + 49 )

[ 3 e 14 t + 25 Sen ( 7 t ) ] = L = 3* L

= 3* . 1 . ( s – 14 ) = EJEMPLO # 2: v ( t ) = 9 Cos ( 31 t ) + 18 L [ 9 Cos ( 31 t ) + 18 ] = ? L [ 9 Cos ( 31 t ) + 18 ] = == 9*L . 3 . ( s – 14 )

[ Cos ( 31 t ) ] + L 18 * 1 s + 18 s

[ 18 ]

9* . s . + ( s2 + 312 ) . 9s . ( s2 + 9612 )

TRANSFORMADA L DE DERIVADAS E INTEGRALES
A continuación se presentan otras propiedades de las transformadas de Laplace:

1) Sea una función f ( t ),
L [ df (t) ] = dt

en el dominio del tiempo, entonces:
f(0-)

s*F(s) -

EJEMPLO # 1:

Sea una función f ( t ) =...