Calculo

CAPITULO I Integración

I.I PRIMITIVAS E INTEGRADAS INDEFINIDAS

Supongamos que nos pide encontrar una función F cuya derivada sea

F1 (x) = 3X2

Por lo que se sabe de derivación,diríamos que F (x) = x3 ya que se deriva

d [ x3 ] = 3x2

La función F es una primitiva (o antiderivada) de f es un intervalo,

F1 (X) = f (x) para todo x en ese intervalo

Teorema 1Familia de primitivos.

Si F es una primitiva de f, entonces G también es una primitiva de f si y solo si G es de la siguiente forma:

G(x) = F(x) + C, donde C es una constante

Ejemplo 1resolviendo una ecuación diferencial
Hallar la solución general de la ecuación diferencial Y=2

Solución: para empezar encontramos una función cuya derivada sea 2. La siguiente función esvalida con Y= 2X.

A hora el teorema 1 nos permite saber que la solución general de la ecuación diferencial dispuesta es y = 2x + c.

Notación para las primitivas.

Al recibir una ecuacióndiferencial de la forma dy = f (x)
dx

Conviene expresarla en la siguiente forma equivalente dy = f (x) dx.

Laoperación de hallar todas las soluciones de esta ecuación se llama integración indefinida o antederivacion, y se denota por un signo integral ∫

La solución general se deriva por y= ∫ f (x) dxvariable de integración
y = ∫ p(x) dx = F (x) + a
integrandoconstante de integración

La expresión ∫ f (x) dx se lee la integral indefinida de f con respecto a x la diferencial de x sirve para identificar xcon la variable de integración.

La integración es la inversa de la derivación: ∫ F1 (x) dx = F (x) + C.

La derivación es la inversa de la integración

d [ f(x) dx ] = f (x)
dx