Calculo

Cálculo Diferencial Unidad 1: Los números reales
El sistema de los números reales en un conjunto R de elementos llamados números reales, junto con dos operaciones: Adición (suma) (+) Multiplicación (producto) • • Si Si ℛy ℛy

(·)

ℛ entonces la suma de con se representa como + ℛ entonces el producto de con se representa como ∙

La resta de

menos se define a partir de la suma como − = +− + − =0

Donde – es el negativo, o inverso aditivo de , de tal modo que Y la división de entre se define a partir del producto como = ∙ de tal modo que

es el recíproco, o inverso multiplicativo, de

∙

=1

Axiomas para describir al conjunto de número reales R

Axioma: Es una proposición que se considera tan simple que se acepta como válida sin necesidad de ninguna demostración.Teorema: Es una proposición que se puede demostrar por medio de las consecuencias lógicas de los axiomas.

Un número real puede ser positivo, negativo, o cero. Cualquier número real puede representarse como la razón de dos números tiene que ser diferente de cero, es decir ≠ 0. donde

Figura 1. Clasificación de los números reales Los números Racionales , los Naturales subconjuntos de los númerosreales ℛ . , los enteros , los irracionales , son

Para darle orden al conjunto R se utilizan los símbolos: R, < que se llama “menor que” > que se llama “mayor que” = que se llama “igual a”

Definiciones y teoremas Si , , ℛ pertenecen al conjunto ℛ, o dicho de otro modo , , son números

Se lee si , , reales.

Definición: 1 a) b) si y sólo si si y sólo si − − es positiva es positivaDefinición 2 Si , a) b) ℛ ≤ ≥ , si y sólo si si y sólo si , ≤ ,y ≥ ,o ,o = =

Las expresiones

se llaman desigualdades.

Teorema: 1 a) b) 0 0 si y sólo si si y sólo si , es positivo , es negativo y ,

Cuando un número , que se supone desconocido, se encuentra entre los números y si y se puede expresar de con la siguiente desigualdad continua

Si cabe la posibilidad de que siguiente forma

=y que ≤ ≤

= , entonces se puede expresar de la

Aunque también puede expresarse como ≤ que = , pero se sabe que en todos los casos O bién puede expresarse como pero se sabe que en todos los casos

, cuando sólo cabe la posibilidad de . = ,

≤ , cuando sólo cabe la posibilidad de que .

Teorema: 2 a) Si b) Si 0y 0y 0, entonces 0, entonces + ∙ 0 0

Para en inciso (a), el teoremaestablece que cuando se suman dos números positivos el resultado (suma) es positivo, y en el inciso (b) que el producto de dos números positivos es positivo.

Teorema: 3, Propiedad transitiva de orden Si , , ∈ ℛ y si Ejemplo: Si 3y3 y , entonces , entonces

Teorema: 4 Suponer que a) Si b) Si c) Si , , ∈ℛ , entonces + y 0 entonces y 0 entonces ∙ ∙ + ∙ ∙

Notar en el inciso (b) que el sentido dela desigualdad no cambia cuando se multiplica a ambos miembros (lados) por el mismo número positivo. Pero que, en el inciso (c) el sentido de la desigualdad si cambia cuando se multiplica a ambos miembros (lados) por el mismo número negativo.

Teorema: 5 Si y , entonces + +

El presente teorema es equivalente a decir que si dos desigualdades que tienen el mismo sentido, se suma miembro amiembro, la desigualdad se conserva +

+

+

La recta numérica es un gráfico que se utiliza para representar a los números reales. Según el axioma de completez, “a cada uno de los elementos del conjunto ℛ le corresponde uno y sólo uno de los puntos de la recta numérica.

-3

-2

-1

0

1

2

3

En la recta numérica existe un punto asociado con el número real 0 que representa elorigen de la recta numérica. Todos los puntos de la recta numérica que se encuentran a la

izquierda del origen son negativos y todos los puntos que se encuentran a la derecha del origen son positivos. Con el uso de la recta numérica, si , entonces aparecerá a la izquierda de .

Para representar un intervalo abierto de valores, si se supone un número , del cual no se conoce su valor, pero se...