calculo

1.3 Cálculo Analítico de límites

Propiedades de los límites
En la sección 1.2 se vio que el límite de f(x) cuando x se aproxima a C no depende del valor de F en x = C. Puede darse el caso de que este límite se f(c). En esta ocasión se puede evaluar el límite por SUSTITUCIÓN DIRECTA. Esto es:
LÍm f(x)=f(C).
X C
Las funciones con este buen comportamiento son CONTINUAS EN C.

TEOREMA 1.1ALGUNOS LÍMITES BÁSICOS
Si b y c números reales y n un entero positivo:

1. Lím b=b 2. Lím x=c 3. Lím =

Para demostrar la propiedad 2 del teorema 1.1 es necesario demostrar que para todo ϵ > o existe un S > 0 tal que | x- c |< ϵ siempre que 0 < |x – c|< S. Para lograrlo, elegir S = ϵ. Entonces la segunda desigualdad lleva implícita ala primera.










Evaluación delos límites básicos


PROPIEDADES DE LOS LÍMITES

SI b y c son números reales y n un entero positivo, f y g son funciones con límites siguientes :

Lím f(x) = L y lím g(x)= K

1. Múltiplo escalar: lím [b f(x)]=BL
2. Suma o diferencia: lím[f(x)± g(x)]= L±K
3. Producto: lím[f(x)g(x)]=LK
4. Cociente:lím = siempre que K 0
5. Potencia: lím [f(x) =

Límite de polinomio
Lím (4+ 3)= lím 4 + lím 3 propiedad 2.
= 4(lím ) + lím 3 propiedad 1.
= 4() + 3 propiedad 1.
= 19 simplificar.
En el ejemplo 2, se observa que ellímite (cuando x 2) de la función polinomial p(x) = + 3 es simplemente el valor de p en x = 2.
Lím p(x)= p(2) = 4() + 3 = 19.
Esta propiedad de sustitución directa es valida para todas las funciones polinomiales y racionales cuyos denominadores no se anulen en el punto considerado.
LIMITES DE LAS FUNCIONES POLINOMIALES Y RACIONALES
Si p es una función polinomial y c un numeroreal, entonces:
Lím p(x) = p(c).
Si r es una función racional dada por r(x) = p(x)\q(x) y c un numero real tal que q( c) 0, entonces
Lím r(x) = r(c) = .

Límite de una función racional

Encontrar el límite: lím .
Solución. Puesto que el denominador no es 0 cuando x=1, se puede aplicar el teorema 1.3 para obtener.
Lím = =

Las funciones polinomiales y racionales sondos de los tres tipos de funciones algebraicas.
LIMITE DE UNA FUNCION RADICAL.
Si n es un entero positivo. El siguiente límite es valido para toda c si n es impar, y para toda c > 0 si n es par :
Lím


El siguiente teorema aumentará notablemente su capacidad para calcular límites, ya que muestra como tratar el límite de función compuesta.
LIMITES DE UNA FUNCIÓN COMPUESTA
Si f yg son funciones tales que lím g(x) = L y lím f(x) = f(L), entonces :
Lím f(g(x)) = f(lím g(x)) = f(L).

Límite de una función compuesta
a) Puesto que
Lím(+4) = + 4 = 4 y lím = = 2
se sigue que
lím =2
b) Puesto que
Lím (2- 10) = 2() – 10 = 8 y lím = = 2.
Se sigue que
Lím = = 2.
Las funcionesalgebraicas se pueden calcular por medio de la sustitución directa. Las seis funciones trigonométricas se puede calcular también cuentan con esta deseable propiedad.

LIMITES DE FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS
Sea c un número real en el dominio de una función trigonométrica dada.

1° lím sen x = sen c 2° lím cos x = cos c
3° lím tan x = tan c 4° lím cot x = cot c
5° lím sec x = sec c6° lím csc x = csc c

Límites de funciones trigonométricas

A) Lím tan x = tan (0) = 0
B) Lím (x cos x) = ( lím x) ( lím cos x) = π cos (π) = - π
C) Lím sen x = lím (sen x = = 0

Una estrategia para el cálculo de límites

El teorema siguiente, permite desarrollar una estrategia para calcular límites.

FUNCIONES QUE COINCIDEN EN TODO SALVO EN UN PUNTO
Sea c un numero...