calculo

Nivelaci´n de Matem´tica
o
a

MTHA UNLP

1

Vectores: Producto escalar y vectorial
Versores fundamentales
Dado un sistema de coordenadas ortogonales, se considera sobre cada uno de los
ejes y coincidiendo con el sentido positivo de los mismos los versores: ı, , k, cuyas
componentes son:
ı = (1, 0, 0)  = (0, 1, 0) k = (0, 0, 1)
y se llaman versores fundamentales.
Todo vector A =(a1 , a2 , a3 ) puede escribirse en la forma:
A = a1 ı + a2  + a3 k
Esta descomposici´n de un vector como suma de tres vectores en la direcci´n de los
o
o
ejes coordenados es muy importante y util. Se llama descomposici´n can´nica de
´
o
o
un vector.
Ejemplos:
1) Vectores en el plano: dado el vector A, con origen en P (−3, 5) y extremo en
Q(4, 7); podemos escribirlo en funci´n de suscomponentes como:
o
A = (7, 2) = 7ı + 2
2) Vectores en el espacio: dado un vector C, con origen en R(3, −1, 4) y extremo
en S(0, 3, −2); podemos escribirlo en funci´n de sus componentes como:
o
C = (−3, 4, −6) = −3ı + 4 − 6k
3)
y
T
B = 2ı + 6
T

¢

¢
¢

6

¢
¢
¢
¢
¢

E

O 2ı

1.

E

x

Producto escalar

Se llama producto escalar o producto interno de dosvectores A = (a1 , a2 , a3 )
B = (b1 , b2 , b3 ), al escalar:
A · B = a1 b 1 + a2 b 2 + a3 b 3
Observaci´n importante: el producto escalar entre dos vectores es un n´mero
o
u
Ejemplos:
1) Si A1 y A2 son vectores de R2 con componentes A1 = (−1, 2) y A2 = (2, −9),
entonces el producto escalar entre ellos es:
A1 · A2 = (−1)2 + 2(−9) = −20
2) 1) Si B1 y B2 son vectores de R3 con componentesB1 = (−3, −1, 7) y B2 =
(−2, 0, 1), entonces el producto escalar entre ellos es:

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o
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2

B1 · B2 = (−3)(−2) + (−1)0 + 7 1 = 13
Propiedades:
1. A · B = B · A
2. A · (B + C) = A · B + A · C
3. Si λ es un n´mero real cualquiera: (λA) · B = A · (λB) = λ(A · B)
u
4. Si A es el vector nulo (A = O = (0, 0, 0)), entonces A · A = 0; si A es cualquierotro vector: A · A = |A|2
Todas estas propiedades son sencillas de demostrar usando la definici´n de producto
o
escalar.
Observaci´n: Para los versores fundamentales ı, , k, resulta que:
o
ı·ı=·=k·k =1

ı·=·k =k·ı=0

Teorema 1: Si A y B son dos vectores perpendiculares, entonces: A · B = 0.
y
T

 ¢ d + B
 A
  ¢
d
¢
 

 
¢
  A
¢
 
 
s
d 90◦ ¢  
B d ¢ 
d¢
 

OE

x

Si A y B son perpendiculares, A + B es la diagonal de un rect´ngulo, cuyos lados
a
miden |A| y |B|.
Luego: |A + B|2 = |A|2 + |B|2 (teorema de Pit´goras)
a
2
2
Como: |A + B| = (A + B) · (A + B) = |A| + |B|2 + 2A · B (por propiedades del
producto escalar)
Por lo tanto: 2A · B = 0 que es lo mismo que:
A·B =0

1.1.

´
Angulo entre dos vectores

Dados dos vectores A = (a1 ,a2 ) y B = (b1 , b2 ). Y αA es el angulo entre A y el eje
´
x y αB el ´ngulo entre B y el eje x.
a
Las componentes de A son: a1 = |A| cos αA y a2 = |A|senαA . Las componentes de B
son: b1 = |B| cos αB y b2 = |B|senαB .
El ´ngulo entre A y B es θ = αB − αA
a

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o
a

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3

T
y

B

b2

¢

¢

a2

O

A

¢

 
 
 

¢
¢
¢θ  
¢ ¢
 

b1

a1

E

x

A · B = a1 b1 + a2 b2 = |A| cos αA |B| cos αB + |A|senαA |B|senαB
= |A||B|(cos αA cos αB + senαA senαB ) = |A||B| cos(αB − αA )
= |A||B| cos θ
Luego:
El ´ngulo θ entre dos vectores, se calcula:
a
cos θ =

A·B
|A||B|

Ejemplo:
El coseno del angulo entre los vectores A = (3, −2, 0) y B = (−2, 1, 5) es:
´
8
3(−2) + (−2)1 + 0(5)
= −√
cos θ =
390
32 +(−2)2 + 02 (−2)2 + 12 + 52
Observaci´n 1: Puesto que cos θ =
o

A·B

|A||B|
calcular el producto escalar entre dos vectores:

podemos deducir otra forma para

A · B = |A||B| cos θ
A·B

= 0. Pero puesto que |A| > 0 y
|A||B|
|B| > 0, tiene que ser A · B = 0 y luego θ = π/2, es decir,
A es perpendicular a B.

Observaci´n 2: Si cos θ = 0, entonces
o

Del Teorema 1 y de la...