Calculo

Valpo, 18 Mayo del 2012 Apuntes Introducción al Cálculo Limite de Funciones Noción Intuitiva de Límite Considere la función cuyo dominio es 1 y cuya grafica es

4 2

-4

-2

0 -2 -4

2

x

4

Se observa que cuando x se acerca a 1 por el lado izquierdo la función tiende a ∞ y si x se acerca a 1 por la derecha la función tiende a ∞ , observe que 1 , pero si se puede acercar a 1tanto por la derecha o por la izquierda . Ahora si se considera la función por trazo y su grafica es 2 1 1 1

1 el dominio de esta función es 1

Se observa en este caso que cuando x se acerca al 1 por la izquierda la función tiende a 1, sin embargo cuando x se acerca al 1 por la derecha la función se acerca a 2 , además se tiene que 1 1 En ambos ejemplo la función no tiende a un solo valor cuandox se acerca al 1 ¿Qué se entenderá por ¨limite” de la función? : 0 se dice que f(x) tiende a L cuando x tiende a x0 si | | | 0 0 |

Def: Sea

Anotamos: lim

Observe que en esta definición se tiene : | 1) | , es decir x0 | se dice que es una vecindad abierta de x0 , se dice que es una vecindad abierta de L

2)| Es decir ,

,

L

Ejemplo : Demostrar que lim PD: ( 0 |3 1 0 | 4|

1|3 |3

1

| 3

4

Esto quiere decir que para todo Ejemplo: Demostrar que lim 0 | 0 | 4| 2|

0 existe 2 |

3| 2

1

tal que | 2 2|

3|

4|

1|

4|

|

1|

3

PD:

Así si tomamos 1 Luego | 2||

Se debe acotar : |

2| en una vecindad de 2 2| 3 | 3 2| 2

|

2

2 |

| 2

2|| 5

2| | 2| 5

5

5

Si tomamos Esto quiere decir que para todo 0 existetal que | 2|

Propiedad(unicidad del limite) Dem: Supongamos que lim lim lim , Si entonces L es único 0 ( >0) 0 y lim 0 0 |

0

|

|

|

|

|

|

|

PD : Si

2

| | | cualquier , luego se cumple | Propiedades Algebraicas Sean lim a) lim c) lim y lim

|

|

|

0

|

|

|

pero esto es para

entonces

b) lim con d) lim e) lim f) lim

0

lim
√Resp: lim

Ejemplo: Calcular lim
√

√

√

Limites laterales Estudiaremos el concepto de limite por la derecha de x0 y limite por la izquierda de x0 los que anotamos respectivamente por: Def: a) lim lim y lim 0 0 0 | |

b) lim

0

0

0

|

|

lim

x0

lim

Propiedad: Si los límites laterales existen y son iguales a L entonces lim Ejemplo: Sea Respuesta: lim lim lim 2 2 1 12 Determine si existe el limite cuando x tiende a 2 2

Luego diremos que lim

lim

1

1

5

5

Ejemplo: Determine si existe lim Respuesta: observe que Asi: lim 1 1

5

| |

0

0

1 1

0 0

Los limites laterales son distintos luego lim Observe que en este ejemplo 0

lim

1

1

| |

no existe

y la grafica de esta función es:

Observación: Veremosalgunas técnicas algebraicas para calcular limites de la forma mas adelante estudiaremos otras formas de calcular estos limites Ejemplo : Suponga que desea calcular lim 1 1 1

o

,

se observa que el limite del numerador

existe y tiende a 0 , que el limite del denominador existe y también tiende a 0 , pero no se puede aplicar la propiedad del cuociente , sin embargo se pueden realizaroperaciones algebraicas que permiten calcular ( a veces no se puede) este limite como sigue: lim lim 1 1 lim 1 3

Ejemplo Determine si existe el lim lim 4 lim 2 2

√

√

Solución: Este límite es de la forma (luego no se puede calcular directamente) √ √2 2 √ √2 √ √ √2 √2 √4 √4

lim

lim

2

2 √

√2

2

√2

√4

4

12√4

Otra técnica que se puede usar es el cambio de variable:Ejemplo: lim 2
√

Este es un limite de la forma Si hacemos lim 2 √2 1 2 8 8 asi si 2 8 2 lim 0 2

lim 4

2 lim

2 12

2

1 6

2

2

2

4

Se puede demostrar que lim forma Ejemplo: Calcular lim Resp: lim 4 lim lim 2

1 , saber esto ayuda a calcular algunos limites de la

Ejemplo:

2

1

Calcular lim lim

1 cos 2

lim

4

1 2

2

lim

lim

2

1...